
数学Bで,数列の和を記号 \sum を用いて表すことを学びました。無限級数(無限に続く数列)の和も \sum を用いて表すことができます。今回は \sum で表された数列が収束するとき,その和を求める方法を見ていきます。和の記号 \sum の線形性 にも注目です。
気になるところをタップして確認しましょう。
\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ k\,a_{n} = k\ \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ a_n$} = k\ \colorbox{mistyrose}{$S$}
\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \left( a_n + b_n \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$} + \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$} = \colorbox{mistyrose}{$S$}+\colorbox{lightcyan}{$T$}
\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \left( a_n + b_n \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$} - \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$} = \colorbox{mistyrose}{$S$} -\colorbox{lightcyan}{$T$}
数学Bでも登場した公式です。数学では非常に大切な「線形性」という性質です。3つも式がありますが,実は以下の式一つで十分なのです。
\sum_{n=1}^{\infty}\ \left(p\,a_n + q\,b_n\right) = p \sum_{n=1}^{\infty}\ a_n + q \sum_{n=1}^{\infty}\ b_n
何度も解いて体で覚えましょう!
次の無限級数の和を求めよ。
準備1
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{2^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{2^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{2^{\color{orange}1} \cdot 2^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$}
準備2
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{3^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{1}{3^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{3^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{3}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{3}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$}
【解答】
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{2^n} は,初項 \frac{1}{2},公比 \frac{1}{2} の無限等比級数であり,
公比 \frac{1}{2} が \color{orange}-1 < \frac{1}{2} < 1 すなわち |\, \frac{1}{2} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{2}}{\ 1-\frac{1}{2}\ } = \dfrac{1}{2-1} = 1
初項 \frac{1}{3},公比 \frac{1}{3} の無限等比級数であり,
公比 \frac{1}{3} が \color{orange}-1 < \frac{1}{3} < 1 すなわち |\, \frac{1}{3} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{3}}{\ 1-\frac{1}{3}\ } = \dfrac{1}{3-1} = \dfrac12
よって,
\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}\right) & \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^n}\\\\ &= 1-\dfrac12\\ \\ &= \dfrac22 - \dfrac12= \dfrac12 \end{align*}
準備1
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{4^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{4}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{4}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{4}$}
準備2
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{2}{3^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{2}{3^n} = \dfrac{2 \cdot1^{\color{orange}n}}{3^n} = \dfrac{2 \cdot1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{3}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{3}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$}
【解答】
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{4^n} は,初項 \frac{1}{4},公比 \frac{1}{4} の無限等比級数であり,
公比 \frac{1}{4} が \color{orange}-1 < \frac{1}{4} < 1 すなわち |\, \frac{1}{4} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{4}}{\ 1-\frac{1}{4}\ } = \dfrac{1}{4-1} = \dfrac13
初項 \frac{2}{3},公比 \frac{1}{3} の無限等比級数であり,
公比 \frac{1}{3} が \color{orange}-1 < \frac{1}{3} < 1 すなわち |\, \frac{1}{3} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{2}{3}}{\ 1-\frac{1}{3}\ } = \dfrac{2}{3-1} = 1
よって,
\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4^n}+\dfrac{2}{3^n}\right) & \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}\\\\ &= \dfrac13 + 1\\ \\ &= \dfrac13 + \dfrac33= \dfrac43 \end{align*}
準備1
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{2^n}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{2^n}{4^n} = \dfrac{2^{\color{orange}1} \cdot 2^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{4}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$}
準備2
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{3^n}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は
\dfrac{3^n}{4^n} = \dfrac{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{4}$} \right)^{n-1}
よって,初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3}{4}$},公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{4}$}
【解答】
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{2^n}{4^n} は,初項 \frac{1}{2},公比 \frac{1}{2} の無限等比級数であり,
公比 \frac{1}{2} が \color{orange}-1 < \frac{1}{2} < 1 すなわち |\, \frac{1}{2} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{2}}{\ 1-\frac{1}{2}\ } = \dfrac{1}{2-1} = 1
初項 \frac{3}{4},公比 \frac{3}{4} の無限等比級数であり,
公比 \frac{3}{4} が \color{orange}-1 < \frac{3}{4} < 1 すなわち |\, \frac{3}{4} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して,その和は
\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{3}{4}}{\ 1-\frac{3}{4}\ } = \dfrac{3}{4-3} = 3
よって,
\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n-3^n}{4^n} &= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2^n}{4^n}-\dfrac{3^n}{4^n}\right)\\\\ & \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^n}{4^n}\\\\ &= 1 - 3 = -2 \end{align*}
- 20210924…初版公開。問題数3。