無限級数の和を求める

\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ k\,a_{n} = k\ \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ a_n$} = k\ \colorbox{mistyrose}{$S$}

\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \left( a_n + b_n \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$} + \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$} = \colorbox{mistyrose}{$S$}+\colorbox{lightcyan}{$T$}

\cdot\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \left( a_n + b_n \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$} - \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$} = \colorbox{mistyrose}{$S$} -\colorbox{lightcyan}{$T$}

数学Ｂでも登場した公式です。数学では非常に大切な「線形性」という性質です。３つも式がありますが，実は以下の式一つで十分なのです。

\sum_{n=1}^{\infty}\ \left(p\,a_n + q\,b_n\right) = p \sum_{n=1}^{\infty}\ a_n + q \sum_{n=1}^{\infty}\ b_n

準備１

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{2^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{2^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{2^{\color{orange}1} \cdot 2^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$}

準備２

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{3^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{1}{3^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{3^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{3}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{3}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$}

【解答】

初項 \frac{1}{2}，公比 \frac{1}{2} の無限等比級数であり，

公比 \frac{1}{2} が　　\color{orange}-1 < \frac{1}{2} < 1　すなわち |\, \frac{1}{2} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{2}}{\ 1-\frac{1}{2}\ } = \dfrac{1}{2-1} = 1

初項 \frac{1}{3}，公比 \frac{1}{3} の無限等比級数であり，

公比 \frac{1}{3} が　　\color{orange}-1 < \frac{1}{3} < 1　すなわち |\, \frac{1}{3} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{3}}{\ 1-\frac{1}{3}\ } = \dfrac{1}{3-1} = \dfrac12

よって，

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}\right)
& \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^n}\\\\
&= 1-\dfrac12\\
\\
&= \dfrac22 - \dfrac12= \dfrac12
\end{align*}

準備１

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{1}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1^{\color{orange}n}}{4^n} = \dfrac{1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{4}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{4}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{4}$}

準備２

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{2}{3^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{2}{3^n} = \dfrac{2 \cdot1^{\color{orange}n}}{3^n} = \dfrac{2 \cdot1^{\color{orange}1} \cdot 1^{n-1}}{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{3}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{3}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{3}$}

【解答】

初項 \frac{1}{4}，公比 \frac{1}{4} の無限等比級数であり，

公比 \frac{1}{4} が　　\color{orange}-1 < \frac{1}{4} < 1　すなわち |\, \frac{1}{4} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{4}}{\ 1-\frac{1}{4}\ } = \dfrac{1}{4-1} = \dfrac13

初項 \frac{2}{3}，公比 \frac{1}{3} の無限等比級数であり，

公比 \frac{1}{3} が　　\color{orange}-1 < \frac{1}{3} < 1　すなわち |\, \frac{1}{3} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{2}{3}}{\ 1-\frac{1}{3}\ } = \dfrac{2}{3-1} = 1

よって，

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4^n}+\dfrac{2}{3^n}\right)
& \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{3^n}\\\\
&= \dfrac13 + 1\\
\\
&= \dfrac13 + \dfrac33= \dfrac43
\end{align*}

準備１

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{2^n}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{2^n}{4^n} = \dfrac{2^{\color{orange}1} \cdot 2^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{4}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{2}$}

準備２

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{3^n}{4^n} の \colorbox{mistyrose}{\small\bf 初項} と \colorbox{lightcyan}{\small\bf 公比} は

\dfrac{3^n}{4^n} = \dfrac{3^{\color{orange}1} \cdot 3^{n-1}}{4^{\color{orange}1} \cdot 4^{n-1}} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3}{4}$} \cdot \left( \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{4}$} \right)^{n-1}

よって，初項 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3}{4}$}，公比 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{4}$}

【解答】

初項 \frac{1}{2}，公比 \frac{1}{2} の無限等比級数であり，

公比 \frac{1}{2} が　　\color{orange}-1 < \frac{1}{2} < 1　すなわち |\, \frac{1}{2} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{1}{2}}{\ 1-\frac{1}{2}\ } = \dfrac{1}{2-1} = 1

初項 \frac{3}{4}，公比 \frac{3}{4} の無限等比級数であり，

公比 \frac{3}{4} が　　\color{orange}-1 < \frac{3}{4} < 1　すなわち |\, \frac{3}{4} \,| \colorbox{mistyrose}{$< 1$} であるから \colorbox{mistyrose}{\small\bf 収束}して，その和は

\textcolor{red}{\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比} = } \cfrac{\frac{3}{4}}{\ 1-\frac{3}{4}\ } = \dfrac{3}{4-3} = 3

よって，

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n-3^n}{4^n}
&= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2^n}{4^n}-\dfrac{3^n}{4^n}\right)\\\\
& \color{orange} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^n}{4^n}\\\\
&= 1 - 3 = -2
\end{align*}