無限に続く等比数列を足し続けると，ある値に近づくことがあります。つまり収束するのです。ちょっと不思議な気もしますが，ある条件を満たせば起こります。その条件を学び，無限等比級数の収束と発散を調べていきましょう。
ちなみに等差数列を足し続けても，正の無限大か，負の無限大に向かっていくだけで収束はしません。おもしろくないので扱いません。
気になるところをタップして確認しましょう。
初項 a，公比 r の無限等比級数
a+ar+ar^2+ \cdots + ar^{n-1} + \cdotsの収束，発散は次の２パターンです。
a \neq 0 のとき
|\,r\,|\ \colorbox{mistyrose}{$< 1$} ならば \colorbox{mistyrose}{\bf 収束！}
\Longrightarrow その和は \dfrac{a}{1-r} \color{red}\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比}
|\,r\,|\ \colorbox{lightcyan}{$\geqq 1$} ならば \colorbox{lightcyan}{\bf 発散！}
\Longrightarrow 収束しないから和はない
a = 0 のとき
0+0+0+ \cdots + 0 + \cdots となるから\colorbox{mistyrose}{\bf 収束！}\Longrightarrow その和は 0
何度も解いて体で覚えましょう！
次のような無限等比級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ。
【解答】
公比 \dfrac{1}{3} が \color{orange}-1 < \dfrac{1}{3} < 1 すなわち
\left|\ \dfrac{1}{3} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 3\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{2}{1-\cfrac13}
&= \cfrac{2 \times 3}{\left( 1-\cfrac{1}{3} \right) \times 3}\\\\
&= \dfrac{6}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3
\end{align*}【解答】
公比 -\sqrt{3} が \color{orange}-\sqrt{3} \leqq -1 すなわち
\left|\ -\sqrt{3} \ \right| \colorbox{lightcyan}{$ \geqq 1$}であるから \colorbox{lightcyan}{\bf 発散} する。
【解答】
公比 \dfrac{1}{2} が \color{orange}-1 < \dfrac{1}{2} < 1 すなわち
\left|\ \dfrac{1}{2} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 2\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{1}{1-\cfrac12}
&= \cfrac{1 \times 2}{\left( 1-\cfrac{1}{2} \right) \times 2}\\\\
&= \dfrac{2}{2-1} = \dfrac{2}{1} = 2
\end{align*}【解答】
公比 -\sqrt{2} が \color{orange}-\sqrt{2} \leqq -1 すなわち
\left|\ -\sqrt{2} \ \right| \colorbox{lightcyan}{$ \geqq 1$}であるから \colorbox{lightcyan}{\bf 発散} する。
初項と公比を求めておく
初項は 1
公比は \dfrac{右}{左} より
\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ -\dfrac13 \div 1 = -\dfrac13とか
\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac19 \div \left( -\dfrac13 \right) = \dfrac19 \times \left( -3 \right) = -\dfrac13より，公比は -\dfrac13
【解答】
初項は 1，公比は -\dfrac13 である。
公比 -\dfrac{1}{3} が \color{orange}-1 < -\dfrac{1}{3} < 1 すなわち
\left|\ -\dfrac{1}{3} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 3\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{1}{1-\left( -\cfrac13 \right)}
&= \cfrac{1 \times 3}{\left( 1+\cfrac{1}{3} \right) \times 3}\\\\
&= \dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}
\end{align*}初項と公比を求めておく
初項は \sqrt{2}+1
公比は \dfrac{右}{左} より
\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac{\sqrt{2}-1}{1} = \sqrt{2}-1とか
\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} = \sqrt{2}-1より，公比は \sqrt{2}-1
【解答】
初項は \sqrt{2}+1，公比は \sqrt{2}-1 である。
公比 \sqrt{2}-1 が
\color{red}\scriptsize\bf \sqrt{2} =1.4 \cdots より \sqrt{2}-1 = 0.4 \cdots
\color{orange}-1 < \sqrt{2}-1 < 1 すなわち
\left|\ \sqrt{2}-1 \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は
\begin{align*}
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =} & \ \cfrac{\sqrt{2}+1}{1-\left( \sqrt{2}-1 \right)}\\\\
&= \dfrac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}\\
& \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 2+\sqrt{2}\ をかける\\
&= \dfrac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2}}{4-2}\\
\\
&= \dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}
\end{align*}- 20210918…初版公開。問題数６。
