無限等比級数の収束と発散を調べる

btakeshi
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無限に続く等比数列を足し続けると,ある値に近づくことがあります。つまり収束するのです。ちょっと不思議な気もしますが,ある条件を満たせば起こります。その条件を学び,無限等比級数の収束と発散を調べていきましょう。

ちなみに等差数列を足し続けても,正の無限大か,負の無限大に向かっていくだけで収束はしません。おもしろくないので扱いません。

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

初項 a,公比 r無限等比級数

a+ar+ar^2+ \cdots + ar^{n-1} + \cdots

の収束,発散は次の2パターンです。

a \neq 0 のとき

  |\,r\,|\ \colorbox{mistyrose}{$< 1$} ならば \colorbox{mistyrose}{\bf 収束!}

  \Longrightarrow その和は \dfrac{a}{1-r}     \color{red}\scriptsize\bf\dfrac{初項}{1-公比}

  |\,r\,|\ \colorbox{lightcyan}{$\geqq 1$} ならば \colorbox{lightcyan}{\bf 発散!}

        \Longrightarrow 収束しないから和はない

a = 0 のとき

0+0+0+ \cdots + 0 + \cdots となるから

  \colorbox{mistyrose}{\bf 収束!}\Longrightarrow その和は 0

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次のような無限等比級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。

【解答】

公比 \dfrac{1}{3} が  \color{orange}-1 < \dfrac{1}{3} < 1 すなわち

\left|\ \dfrac{1}{3} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}

であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は

\begin{align*}
&  \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 3\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{2}{1-\cfrac13}
&= \cfrac{2 \times 3}{\left( 1-\cfrac{1}{3} \right) \times 3}\\\\
&= \dfrac{6}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3
\end{align*}

【解答】

公比 -\sqrt{3} が  \color{orange}-\sqrt{3} \leqq -1 すなわち

\left|\ -\sqrt{3} \ \right| \colorbox{lightcyan}{$ \geqq 1$}

であるから \colorbox{lightcyan}{\bf 発散} する。

【解答】

公比 \dfrac{1}{2} が  \color{orange}-1 < \dfrac{1}{2} < 1 すなわち

\left|\ \dfrac{1}{2} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}

であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は

\begin{align*}
&  \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 2\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{1}{1-\cfrac12}
&= \cfrac{1 \times 2}{\left( 1-\cfrac{1}{2} \right) \times 2}\\\\
&= \dfrac{2}{2-1} = \dfrac{2}{1} = 2
\end{align*}

【解答】

公比 -\sqrt{2} が  \color{orange}-\sqrt{2} \leqq -1 すなわち

\left|\ -\sqrt{2} \ \right| \colorbox{lightcyan}{$ \geqq 1$}

であるから \colorbox{lightcyan}{\bf 発散} する。

初項と公比を求めておく

初項は 1

公比は \dfrac{右}{左} より

\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ -\dfrac13 \div 1 = -\dfrac13

とか

\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac19 \div \left( -\dfrac13 \right) = \dfrac19 \times \left( -3 \right) = -\dfrac13

より,公比は -\dfrac13

【解答】

初項は 1,公比は -\dfrac13 である。

公比 -\dfrac{1}{3} が  \color{orange}-1 < -\dfrac{1}{3} < 1 すなわち

\left|\ -\dfrac{1}{3} \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}

であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は

\begin{align*}
&  \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 3\ をかける\\
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =}\ \cfrac{1}{1-\left( -\cfrac13 \right)}
&= \cfrac{1 \times 3}{\left( 1+\cfrac{1}{3} \right) \times 3}\\\\
&= \dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}
\end{align*}

初項と公比を求めておく

初項は \sqrt{2}+1

公比は \dfrac{右}{左} より

\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac{\sqrt{2}-1}{1} = \sqrt{2}-1

とか

\textcolor{red}{\footnotesize\bf \dfrac{右}{左}=}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} = \sqrt{2}-1

より,公比は \sqrt{2}-1

【解答】

初項は \sqrt{2}+1,公比は \sqrt{2}-1 である。

公比 \sqrt{2}-1

\color{red}\scriptsize\bf \sqrt{2} =1.4 \cdots より \sqrt{2}-1 = 0.4 \cdots

  \color{orange}-1 < \sqrt{2}-1 < 1 すなわち

\left|\ \sqrt{2}-1 \ \right| \colorbox{mistyrose}{$<1$}

であるから \colorbox{mistyrose}{\bf 収束} する。その和は

\begin{align*}
\textcolor{red}{\footnotesize\bf\dfrac{初項}{1-公比} =} & \ \cfrac{\sqrt{2}+1}{1-\left( \sqrt{2}-1 \right)}\\\\
&= \dfrac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}\\
&    \scriptsize\color{red}分母・分子に\ 2+\sqrt{2}\ をかける\\
&= \dfrac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2}}{4-2}\\
\\
&= \dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}
\end{align*}
  • 20210918…初版公開。問題数6。

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