気になるところをタップして確認しましょう。
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n = \alpha とする。
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}ka_n = k\alpha
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n) = \alpha+\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n) = \alpha-\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ b_n = \alpha\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\alpha}{\beta}
公式①②③をまとめて
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(pa_n+qb_n) = p\alpha+q\beta
と書くことがあります。これを線形性といいます。この性質は数学の色々なところに登場する大切なものです。他にも\sumや微分・積分などにも同様の性質があります。
何度も解いて体で覚えましょう!
\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = 2$},\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n = -3$}のとき,次の極限を求めよ。
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}(3a_n+b_n) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(3a_n)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\\ &= 3 \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}+\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\ &= 3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$2$} + \colorbox{lightcyan}{$(-3)$}\\ &= 6-3=3 \end{align*}
(答)3
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-2) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}2\\ &= \colorbox{mistyrose}{$2$} -2 = 0 \end{align*}
(答)0
\begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{b_n+4}{a_n-3} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n+4)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-3)}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}4}{\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}3}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$-3$}+4}{\colorbox{mistyrose}{$2$}-3} = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{align*}
(答)-1
\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = 1$},\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n = -2$}のとき,次の極限を求めよ。
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-b_n) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} - \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\ &= 1+2=3 \end{align*}
(答)3
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}(3a_n+2b_n) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(3a_n)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(2b_n)\\ &= 3\ \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}+2\ \colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\ &= 3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$1$} +2 \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\ &= 3-4=-1 \end{align*}
(答)-1
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-1) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1\\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} -1\\ &= 0 \end{align*}
(答)0
\begin{align*} \lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_nb_n &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$} \times\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \times \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\ &= -2 \end{align*}
(答)-2
\begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{b_n+5}{2a_n-1} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n+5)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(2a_n-1)}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}5}{\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(2a_n)-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}1}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}5}{2\ \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}1}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$-2$}+5}{2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$1$}-1} = \dfrac{3}{1} = 3 \end{align*}
(答)3
\def\an{\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}$}} \def\bn{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}$}} \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n-b_n}{a_n+b_n} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)}\\\\ &= \dfrac{\an-\bn}{\an+\bn}\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}-\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}}{\colorbox{mistyrose}{$1$}+\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}}\\ &= \dfrac{3}{-1} = -3 \end{align*}
(答)-3
- 20210627…初版公開。大問2(小問9)