気になるところをタップして確認しましょう。
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha，\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n = \alpha とする。
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}ka_n = k\alpha
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n) = \alpha+\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n) = \alpha-\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ b_n = \alpha\beta
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\alpha}{\beta}
公式①②③をまとめて
- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(pa_n+qb_n) = p\alpha+q\beta
と書くことがあります。これを線形性といいます。この性質は数学の色々なところに登場する大切なものです。他にも\sumや微分・積分などにも同様の性質があります。
何度も解いて体で覚えましょう！
\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = 2$}，\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n = -3$}のとき，次の極限を求めよ。
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(3a_n+b_n) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(3a_n)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\\
&= 3 \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}+\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\
&= 3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$2$} + \colorbox{lightcyan}{$(-3)$}\\
&= 6-3=3
\end{align*}（答）3
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-2) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}2\\
&= \colorbox{mistyrose}{$2$} -2 = 0
\end{align*}（答）0
\begin{align*}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{b_n+4}{a_n-3} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n+4)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-3)}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}4}{\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}3}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$-3$}+4}{\colorbox{mistyrose}{$2$}-3} = \dfrac{1}{-1} = -1
\end{align*}（答）-1
\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = 1$}，\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n = -2$}のとき，次の極限を求めよ。
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-b_n) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} - \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\
&= 1+2=3
\end{align*}（答）3
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(3a_n+2b_n) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(3a_n)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(2b_n)\\
&= 3\ \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}+2\ \colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\
&= 3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$1$} +2 \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\
&= 3-4=-1
\end{align*}（答）-1
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(a_n-1) &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} -1\\
&= 0
\end{align*}（答）0
\begin{align*}
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_nb_n &= \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$} \times\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \times \colorbox{lightcyan}{$(-2)$}\\
&= -2
\end{align*}（答）-2
\begin{align*}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{b_n+5}{2a_n-1} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n+5)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(2a_n-1)}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}5}{\lim\limits_{n \rightarrow\infty}(2a_n)-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}1}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_n$}+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}5}{2\ \colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n \rightarrow\infty}a_n$}-\lim\limits_{n \rightarrow\infty}1}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$-2$}+5}{2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$1$}-1} = \dfrac{3}{1} = 3
\end{align*}（答）3
\def\an{\colorbox{mistyrose}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}$}}
\def\bn{\colorbox{lightcyan}{$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}$}}
\begin{align*}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n-b_n}{a_n+b_n} &= \dfrac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)}\\\\
&= \dfrac{\an-\bn}{\an+\bn}\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}-\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}}{\colorbox{mistyrose}{$1$}+\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}}\\
&= \dfrac{3}{-1} = -3
\end{align*}（答）-3
- 20210627…初版公開。大問２（小問９）
