気になるところをタップして確認しましょう。
2つの関数 f(x)=x-1 と g(x)=x^2 を考えて,値のリレーをしてみます。それでは【数学3】の3 からスタートしてみましょう。
f(\colorbox{mistyrose}{$3$}) = 3-1 = \colorbox{lightcyan}{$2$}
g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = 2^2 = \colorbox{lightgreen}{$4$}
\colorbox{lightgreen}{$4$} = g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = g(f(\colorbox{mistyrose}{$3$}))
おわかりでしょうか。右辺に注目です。g(f(x)) は 3 を 4 に対応させています。新しい関数の誕生です。これを関数の合成といいます。関数と関数の掛け算です。
一般に,2つの関数 f(x) と g(x) について,新しい関数 g(f(x) を考える。この関数を, f(x) と g(x) の 合成関数 という。
- f(x) の値域が g(x) の定義域に含まれている必要がある。含まれていないとリレーができない。
- 記号
- g(f(x)) = (g \circ f) (x) と書く。
- f(g(x)) = (f \circ g) (x) と書く。
- (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) となおして,内側の関数から計算する。
何度も解いて体で覚えましょう!
f(x)=x+1,g(x)=2^x について,次の合成関数を求めよ。
\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ &= g(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\ &= 2^{\colorbox{mistyrose}{$x+1$}}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = 2^A}} \end{align*}
(答)(g \circ f)(x) = 2^{x+1}
\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$2^x$})\\ &= \colorbox{mistyrose}{$2^x$}+1\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}} \end{align*}
(答)(f \circ g)(x) = 2^{x}+1
\begin{align*} (f \circ f)(x) &= f(f(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\ &= \colorbox{mistyrose}{$x+1$}+1 = x+2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}} \end{align*}
(答)(f \circ f)(x) = x+2
f(x)=x^2,g(x)=\log_{2}(x+1) について,次の合成関数を求めよ。
\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ &= g(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\ &= \log_{2}{(\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+1)}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = \log_{2}(A+1)}} \end{align*}
(答)(g \circ f)(x) = \log_{2}(x^2+1)
\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$})\\ &= \left\{\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$}\right\}^2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}} \end{align*}
(答)(f \circ g)(x) = \left\{\log_{2}(x+1)\right\}^2
\begin{align*} (f \circ f)(x) &= f(f(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\ &= (\colorbox{mistyrose}{$x^2$})^2 = x^4\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}} \end{align*}
(答)(f \circ f)(x) = x^4
- 20210613…初版公開。
- 20210617…授業のために問題を追加。問題数6。