合成関数

合成関数。関数と関数のかけ算

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

2つの関数 f(x)=x-1g(x)=x^2 を考えて,値のリレーをしてみます。それでは【数学3】の3 からスタートしてみましょう。

f(\colorbox{mistyrose}{$3$}) = 3-1 = \colorbox{lightcyan}{$2$}
3f(x) のパワーで 2 に変換されます。この結果 2g(x) にリレーします。

g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = 2^2 = \colorbox{lightgreen}{$4$}
g(x) は受け取った 2 を変換し,4 を返してきました。それでは,この計算を逆にたどってみましょう。

\colorbox{lightgreen}{$4$} = g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = g(f(\colorbox{mistyrose}{$3$}))

おわかりでしょうか。右辺に注目です。g(f(x))34 に対応させています。新しい関数の誕生です。これを関数の合成といいます。関数と関数の掛け算です。

一般に,2つの関数 f(x)g(x) について,新しい関数 g(f(x) を考える。この関数を, f(x)g(x)合成関数 という。
 

  • f(x) の値域が g(x) の定義域に含まれている必要がある。含まれていないとリレーができない。
     
  • 記号
    • g(f(x)) = (g \circ f) (x) と書く。
    • f(g(x)) = (f \circ g) (x) と書く。
       
  • (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) となおして,内側の関数から計算する。

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

f(x)=x+1g(x)=2^x について,次の合成関数を求めよ。

\begin{align*}
(g \circ f)(x) &= g(f(x))\\
&= g(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\
&= 2^{\colorbox{mistyrose}{$x+1$}}\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = 2^A}}
\end{align*}

(答)(g \circ f)(x) = 2^{x+1}

\begin{align*}
(f \circ g)(x) &= f(g(x))\\
&= f(\colorbox{mistyrose}{$2^x$})\\
&= \colorbox{mistyrose}{$2^x$}+1\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}}
\end{align*}

(答)(f \circ g)(x) = 2^{x}+1

\begin{align*}
(f \circ f)(x) &= f(f(x))\\
&= f(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\
&= \colorbox{mistyrose}{$x+1$}+1 = x+2\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}}
\end{align*}

(答)(f \circ f)(x) = x+2

f(x)=x^2g(x)=\log_{2}(x+1) について,次の合成関数を求めよ。

\begin{align*}
(g \circ f)(x) &= g(f(x))\\
&= g(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\
&= \log_{2}{(\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+1)}\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = \log_{2}(A+1)}}
\end{align*}

(答)(g \circ f)(x) = \log_{2}(x^2+1)

\begin{align*}
(f \circ g)(x) &= f(g(x))\\
&= f(\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$})\\
&= \left\{\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$}\right\}^2\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}}
\end{align*}

(答)(f \circ g)(x) = \left\{\log_{2}(x+1)\right\}^2

\begin{align*}
(f \circ f)(x) &= f(f(x))\\
&= f(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\
&= (\colorbox{mistyrose}{$x^2$})^2 = x^4\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}}
\end{align*}

(答)(f \circ f)(x) = x^4

前回と次回へのリンク
  • 20210613…初版公開。
  • 20210617…授業のために問題を追加。問題数6。

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