合成関数 | ますどら

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【数学３】合成関数

２つの関数 $f(x)=x-1$ と $g(x)=x^2$ を考えて，値のリレーをしてみます。それでは【数学３】の $3$ からスタートしてみましょう。

f(\colorbox{mistyrose}{$3$}) = 3-1 = \colorbox{lightcyan}{$2$}

3

は

f(x)

のパワーで

2

に変換されます。この結果

2

を

g(x)

にリレーします。

g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = 2^2 = \colorbox{lightgreen}{$4$}

g(x)

は受け取った

2

を変換し，

4

を返してきました。それでは，この計算を逆にたどってみましょう。

\colorbox{lightgreen}{$4$} = g(\colorbox{lightcyan}{$2$}) = g(f(\colorbox{mistyrose}{$3$}))

おわかりでしょうか。右辺に注目です。 $g(f(x))$ は $3$ を $4$ に対応させています。新しい関数の誕生です。これを関数の合成といいます。関数と関数の掛け算です。

一般に，２つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ について，新しい関数 $g(f(x)$ を考える。この関数を， $f(x)$ と $g(x)$ の 合成関数 という。
　

何度も解いて体で覚えましょう！

$f(x)=x+1$ ， $g(x)=2^x$ について，次の合成関数を求めよ。

(g \circ f)(x)

\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ &= g(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\ &= 2^{\colorbox{mistyrose}{$x+1$}}\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = 2^A}} \end{align*}

（答） $(g \circ f)(x) = 2^{x+1}$

(f \circ g)(x)

\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$2^x$})\\ &= \colorbox{mistyrose}{$2^x$}+1\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}} \end{align*}

（答） $(f \circ g)(x) = 2^{x}+1$

(f \circ f)(x)

\begin{align*} (f \circ f)(x) &= f(f(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$x+1$})\\ &= \colorbox{mistyrose}{$x+1$}+1 = x+2\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A+1}} \end{align*}

（答） $(f \circ f)(x) = x+2$

$f(x)=x^2$ ， $g(x)=\log_{2}(x+1)$ について，次の合成関数を求めよ。

(g \circ f)(x)

\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x))\\ &= g(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\ &= \log_{2}{(\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+1)}\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ g(A) = \log_{2}(A+1)}} \end{align*}

（答） $(g \circ f)(x) = \log_{2}(x^2+1)$

(f \circ g)(x)

\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$})\\ &= \left\{\colorbox{mistyrose}{$\log_{2}(x+1)$}\right\}^2\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}} \end{align*}

（答） $(f \circ g)(x) = \left\{\log_{2}(x+1)\right\}^2$

(f \circ f)(x)

\begin{align*} (f \circ f)(x) &= f(f(x))\\ &= f(\colorbox{mistyrose}{$x^2$})\\ &= (\colorbox{mistyrose}{$x^2$})^2 = x^4\\ & 　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ f(A) = A^2}} \end{align*}

（答） $(f \circ f)(x) = x^4$

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