気になるところをタップして確認しましょう。
関数 y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは,直線 y=x に関して対称である。
b=f(a) \Longrightarrow a=f^{-1}(b) を利用
(証明)
関数 y=f(x) 上の点 {\rm P}(a,\ b) をとると
b=f(a) \Longrightarrow f^{-1}(b) = a
点 {\rm Q}(b,\ a) とすると,点 {\rm Q} は関数 y=f^{-1}(x) 上にあることが分かる。
また,点 {\rm P}(a,\ b) と点 {\rm Q}(b,\ a) は,直線 y=x に関して対称である。
- {\rm PQ} の中点 \left(\dfrac{a+b}{2},\ \dfrac{b+a}{2}\right) は,y=x 上にある
- {\rm PQ} の傾きは \dfrac{b-a}{a-b} = \dfrac{-(a-b)}{a-b} = -1 であるから,y=x と垂直
よって,y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは,直線 y=x に関して対称である。
(証明終)
何度も解いて体で覚えましょう!
次の関数のグラフおよびその逆関数のグラフを同じ図中にかけ。
[定石3]逆関数1[/定石3]
\sqrt{-x} \geqq 0 であるから,値域は y \geqq 0 ( -x \geqq 0 )
[定石3]逆関数2[/定石3]

\begin{align*} y &= \sqrt{-x} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ }\ を消すために2乗する}}\\ y^2 &= -x\\ x &= -y^2 \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\ \end{align*}
よって,x=-y^2( y \geqq 0 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=-x^2( x \geqq 0 )

[定石3]逆関数1[/定石3]
\log_{\frac12}x の値域はすべての実数 ( x > 0 )
[定石3]逆関数2[/定石3]

\begin{align*} y &= \log_{\frac12}x\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左辺に\ \log_{\frac12}\frac12=1\ をつける}}\\ y \times \log_{\frac12}{\frac12} &= \log_{\frac12}x\\\\ \log_{\frac12}{\left(\frac12\right)^y} &= \log_{\frac12}x\\\\ \left(\frac12\right)^y &= x\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\ x &= \left(\frac12\right)^y \end{align*}
よって,x=\left(\frac12\right)^x( y はすべての実数)
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\left(\frac12\right)^y

- 20210612…初版公開。問題数2。