気になるところをタップして確認しましょう。
関数 y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは，直線 y=x に関して対称である。
b=f(a) \Longrightarrow a=f^{-1}(b) を利用
（証明）
関数 y=f(x) 上の点 {\rm P}(a,\ b) をとると
b=f(a) \Longrightarrow f^{-1}(b) = a点 {\rm Q}(b,\ a) とすると，点 {\rm Q} は関数 y=f^{-1}(x) 上にあることが分かる。
また，点 {\rm P}(a,\ b) と点 {\rm Q}(b,\ a) は，直線 y=x に関して対称である。
- {\rm PQ} の中点 \left(\dfrac{a+b}{2},\ \dfrac{b+a}{2}\right) は，y=x 上にある
- {\rm PQ} の傾きは \dfrac{b-a}{a-b} = \dfrac{-(a-b)}{a-b} = -1 であるから，y=x と垂直
よって，y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは，直線 y=x に関して対称である。
（証明終）
何度も解いて体で覚えましょう！
次の関数のグラフおよびその逆関数のグラフを同じ図中にかけ。
[定石３]逆関数１[/定石３]
\sqrt{-x} \geqq 0 であるから，値域は y \geqq 0 （ -x \geqq 0 ）
[定石３]逆関数２[/定石３]
\begin{align*}
y &= \sqrt{-x} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ }\ を消すために２乗する}}\\
y^2 &= -x\\
x &= -y^2 \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\
\end{align*}よって，x=-y^2（ y \geqq 0 ）
[定石３]逆関数３[/定石３]（答）y=-x^2（ x \geqq 0 ）
[定石３]逆関数１[/定石３]
\log_{\frac12}x の値域はすべての実数 （ x > 0 ）
[定石３]逆関数２[/定石３]
\begin{align*}
y &= \log_{\frac12}x\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左辺に\ \log_{\frac12}\frac12=1\ をつける}}\\
y \times \log_{\frac12}{\frac12} &= \log_{\frac12}x\\\\
\log_{\frac12}{\left(\frac12\right)^y} &= \log_{\frac12}x\\\\
\left(\frac12\right)^y &= x\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\
x &= \left(\frac12\right)^y
\end{align*}よって，x=\left(\frac12\right)^x（ y はすべての実数）
[定石３]逆関数３[/定石３]（答）y=\left(\frac12\right)^y
- 20210612…初版公開。問題数2。