逆関数のグラフ

逆関数のグラフ

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気になるところをタップして確認しましょう。

関数 y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは,直線 y=x に関して対称である。

b=f(a) \Longrightarrow a=f^{-1}(b) を利用

(証明)

関数 y=f(x) 上の点 {\rm P}(a,\ b) をとると

b=f(a) \Longrightarrow f^{-1}(b) = a

{\rm Q}(b,\ a) とすると,点 {\rm Q} は関数 y=f^{-1}(x) 上にあることが分かる。
 

また,点 {\rm P}(a,\ b) と点 {\rm Q}(b,\ a) は,直線 y=x に関して対称である。

  • {\rm PQ} の中点 \left(\dfrac{a+b}{2},\ \dfrac{b+a}{2}\right) は,y=x 上にある
  • {\rm PQ} の傾きは \dfrac{b-a}{a-b} = \dfrac{-(a-b)}{a-b} = -1 であるから,y=x と垂直

よって,y=f(x) のグラフとその逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフは,直線 y=x に関して対称である。

(証明終)

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数のグラフおよびその逆関数のグラフを同じ図中にかけ。

[定石3]逆関数1[/定石3] \sqrt{-x} \geqq 0 であるから,値域は y \geqq 0 -x \geqq 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \sqrt{-x} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ }\ を消すために2乗する}}\\
y^2 &= -x\\
x &= -y^2  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\
\end{align*}

よって,x=-y^2y \geqq 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=-x^2x \geqq 0

[定石3]逆関数1[/定石3] \log_{\frac12}x の値域はすべての実数 x > 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \log_{\frac12}x\\
&  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左辺に\ \log_{\frac12}\frac12=1\ をつける}}\\
y \times \log_{\frac12}{\frac12} &= \log_{\frac12}x\\\\
\log_{\frac12}{\left(\frac12\right)^y} &= \log_{\frac12}x\\\\
\left(\frac12\right)^y &= x\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}\\
x &= \left(\frac12\right)^y
\end{align*}

よって,x=\left(\frac12\right)^xy はすべての実数)

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\left(\frac12\right)^y

  • 20210612…初版公開。問題数2。

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