気になるところをタップして確認しましょう。
２つの変数 x，y について，x の値が１つ決まると，それに対応して y の値がただ１つ決まるとき， y は x の関数である といいます。
逆に，y の値が１つ決まると，それに対応して x の値がただ１つ決まるなら， x は y の関数である と考えることができます。
一般に，関数 y=f(x) において，値域内の y の値が１つ決まるとき，それに対応して x の値がただ１つ決まるなら，x は y の関数になります。この関数を x=g(y) と表します。
このとき，変数 y を x に書き直した関数 g(x) を，もとの関数 f(x) の 逆関数 といい，記号で f^{-1}(x) と表します。
- 関数とその逆関数では，定義域と値域が入れ替わります。
- f^{-1}(x) を見て，a^{-1}=\dfrac{1}{a} を思い出した人，素敵です。そう！ a と \dfrac{1}{a} を逆数と呼ぶのと同じです。f^{-1}(x) は関数の世界での逆数を表しています。
f(x) の逆関数 g(x) の求め方
- y=f(x) の値域を求める
- y=f(x) を x について解き，x=g(y) の形にする
- x と y を入れ替えて，y=g(x) とする
- 最初に求めた値域もy を x に替えて定義域にする
Happy Math-ing!
関数 y=2^x の逆関数は y=\log_{2}x です。互いに逆関数ですから
\begin{align*}
x=\colorbox{mistyrose}{$3$}\ のとき & y = 2^{\colorbox{mistyrose}{$3$}} = \colorbox{lightgreen}{$8$}\\
x=\colorbox{lightgreen}{$8$}\ のとき & y = \log_{2}\colorbox{lightgreen}{$8$} = \log_{2}2^3 = \colorbox{mistyrose}{$3$}
\end{align*}つまり逆関数の定義より，次のことが成り立ちます。
関数 f(x) が逆関数 f^{-1}(x) をもつとき
\colorbox{lightgreen}{$b$}=f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) \Longleftrightarrow \colorbox{mistyrose}{$a$} = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{$b$})逆関数は逆数と同じ性質を持っています。例えば，3 とその逆数 \dfrac13 をかけると
3 \times \dfrac13 = 1
このとき，1 を積の単位元といいます。どんな数でも，その逆数をかけると必ず積の単位元になります。これを関数と逆関数でも考えると
\colorbox{lightgreen}{$b$}=f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) \Longleftrightarrow \colorbox{mistyrose}{$a$} = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{$b$})より
f^{-1}(\ f(\colorbox{mistyrose}{$a$})\ ) = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{\ $b$}\ ) = \colorbox{mistyrose}{$a$}つまり，f^{-1}(f(x)) という関数は，a を a に対応させる関数だということが分かります。そんな関数といえば・・・
y=x
です。これが関数の世界の単位元（単位関数？）になるわけです。余談でした。
Happy Math-ing!
何度も解いて体で覚えましょう！
次の各問いに答えよ。
f(2)=4 より，
f^{-1}(\colorbox{mistyrose}{$1$}) = \colorbox{lightgreen}{$-4$} より \colorbox{mistyrose}{$1$} = f(\colorbox{lightgreen}{$-4$}) であるから，
\begin{align*}
f(2) &= 4\\
a \cdot 2 + b &= 4\\
2a+b &= 4\ \cdots\ ①
\end{align*}\begin{align*}
f(-4) &= 1\\
a \cdot (-4) + b &= 1\\
-4a+b &= 1\ \cdots\ ②
\end{align*}①ー②より
\begin{align*}
(2a+b)-(-4a+b) &= 4-1\\
2a+b+4a-b &= 3\\
6a &= 3\\
a &= \dfrac12
\end{align*}これを①に代入して
\begin{align*}
2 \cdot \dfrac12+b &= 4\\
1+b &= 4\\
b &= 3
\end{align*}（答）a=\dfrac12，b=3
※ これは a \neq 0 を満たしている。
- 20210612…初版公開。問題数1。