気になるところをタップして確認しましょう。
2つの変数 x,y について,x の値が1つ決まると,それに対応して y の値がただ1つ決まるとき, y は x の関数である といいます。
逆に,y の値が1つ決まると,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら, x は y の関数である と考えることができます。
一般に,関数 y=f(x) において,値域内の y の値が1つ決まるとき,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら,x は y の関数になります。この関数を x=g(y) と表します。
このとき,変数 y を x に書き直した関数 g(x) を,もとの関数 f(x) の 逆関数 といい,記号で f^{-1}(x) と表します。
- 関数とその逆関数では,定義域と値域が入れ替わります。
- f^{-1}(x) を見て,a^{-1}=\dfrac{1}{a} を思い出した人,素敵です。そう! a と \dfrac{1}{a} を逆数と呼ぶのと同じです。f^{-1}(x) は関数の世界での逆数を表しています。
Happy Math-ing!
関数 y=2^x の逆関数は y=\log_{2}x です。互いに逆関数ですから
\begin{align*} x=\colorbox{mistyrose}{$3$}\ のとき & y = 2^{\colorbox{mistyrose}{$3$}} = \colorbox{lightgreen}{$8$}\\ x=\colorbox{lightgreen}{$8$}\ のとき & y = \log_{2}\colorbox{lightgreen}{$8$} = \log_{2}2^3 = \colorbox{mistyrose}{$3$} \end{align*}
つまり逆関数の定義より,次のことが成り立ちます。
関数 f(x) が逆関数 f^{-1}(x) をもつとき
\colorbox{lightgreen}{$b$}=f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) \Longleftrightarrow \colorbox{mistyrose}{$a$} = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{$b$})
逆関数は逆数と同じ性質を持っています。例えば,3 とその逆数 \dfrac13 をかけると
3 \times \dfrac13 = 1
このとき,1 を積の単位元といいます。どんな数でも,その逆数をかけると必ず積の単位元になります。これを関数と逆関数でも考えると
\colorbox{lightgreen}{$b$}=f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) \Longleftrightarrow \colorbox{mistyrose}{$a$} = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{$b$})
より
f^{-1}(\ f(\colorbox{mistyrose}{$a$})\ ) = f^{-1}(\colorbox{lightgreen}{\ $b$}\ ) = \colorbox{mistyrose}{$a$}
つまり,f^{-1}(f(x)) という関数は,a を a に対応させる関数だということが分かります。そんな関数といえば・・・
y=x
です。これが関数の世界の単位元(単位関数?)になるわけです。余談でした。
Happy Math-ing!
何度も解いて体で覚えましょう!
次の各問いに答えよ。
f(2)=4 より,
f^{-1}(\colorbox{mistyrose}{$1$}) = \colorbox{lightgreen}{$-4$} より \colorbox{mistyrose}{$1$} = f(\colorbox{lightgreen}{$-4$}) であるから,
\begin{align*} f(2) &= 4\\ a \cdot 2 + b &= 4\\ 2a+b &= 4\ \cdots\ ① \end{align*}
\begin{align*} f(-4) &= 1\\ a \cdot (-4) + b &= 1\\ -4a+b &= 1\ \cdots\ ② \end{align*}
①ー②より
\begin{align*} (2a+b)-(-4a+b) &= 4-1\\ 2a+b+4a-b &= 3\\ 6a &= 3\\ a &= \dfrac12 \end{align*}
これを①に代入して
\begin{align*} 2 \cdot \dfrac12+b &= 4\\ 1+b &= 4\\ b &= 3 \end{align*}
(答)a=\dfrac12,b=3
※ これは a \neq 0 を満たしている。
- 20210612…初版公開。問題数1。