逆関数を求める

逆関数を求める

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2つの変数 xy について,x の値が1つ決まると,それに対応して y の値がただ1つ決まるとき, yx の関数である といいます。

 

逆に,y の値が1つ決まると,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら, xy の関数である と考えることができます。

一般に,関数 y=f(x) において,値域内の y の値が1つ決まるとき,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら,xy の関数になります。この関数を x=g(y) と表します。
 
このとき,変数 yx に書き直した関数 g(x) を,もとの関数 f(x) 逆関数 といい,記号で f^{-1}(x) と表します。

 

  • 関数とその逆関数では,定義域と値域が入れ替わります。
  • f^{-1}(x) を見て,a^{-1}=\dfrac{1}{a} を思い出した人,素敵です。そう! a\dfrac{1}{a} を逆数と呼ぶのと同じです。f^{-1}(x) は関数の世界での逆数を表しています。
f(x) の逆関数 g(x) の求め方
  1. y=f(x)値域を求める
  2. y=f(x) x について解きx=g(y) の形にする
  3. xy を入れ替えてy=g(x) とする
    • 最初に求めた値域もyx に替えて定義域にする

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数の逆関数を求めよ。

[定石3]逆関数1[/定石3] \sqrt{x} \geqq 0 であるから,値域は y \geqq 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \sqrt{x}  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ } を消すために2乗する}}\\
y^2 &= x\\
x &= y^2  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=y^2y \geqq 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=x^2 ( x \geqq 0

[定石3]逆関数1[/定石3] x=0 のとき y=3 \cdot 0 -1=-1 

x=2 のとき y=3 \cdot 2 -1=5

 よって,値域は -1 \leqq y \leqq 5

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= 3x-1\\
y+1 &= 3x\\
\dfrac13y+\dfrac13 &= x\\
x &= \dfrac13y+\dfrac13  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=\dfrac13y+\dfrac13-1 \leqq y \leqq 5

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\dfrac13x+\dfrac13 ( -1 \leqq x \leqq 5

[定石3]逆関数1[/定石3] -\sqrt{x} \leqq 0 であるから,値域は y \leqq 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= -\sqrt{x}  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ } を消すために2乗する}}\\
y^2 &= x\\
x &= y^2  \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=y^2y \leqq 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=x^2 ( x \leqq 0

[定石3]逆関数1[/定石3] 2^x > 0 であるから,値域は y > 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= 2^x   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{2}\ を両辺に}}\\
\log_{2}y &= \log_{2}2^x\\
\log_{2}y &= x\\
x &= \log_{2}y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=\log_{2}yy > 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\log_{2}x

x>0 は 真数条件だから不要です。

[定石3]逆関数1[/定石3] 3^x > 0 であるから,値域は y > 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= 3^x   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{3}\ を両辺に}}\\
\log_{3}y &= \log_{3}3^x\\
\log_{3}y &= x\\
x &= \log_{3}y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=\log_{3}yy > 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\log_{3}x

x>0 は 真数条件だから不要です。

[定石3]逆関数1[/定石3] \log_{4}x はすべての実数をとるから,

値域は すべての実数

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \log_{4}x   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 右辺に\log_{4}\ \Longrightarrow\ \log_{4}4=1\ を左辺に}}\\
y \times \log_{4}4 &= \log_{4}x\\
\log_{4}4^y &= \log_{4}x\\
4^y &= x\\
x &= 4^y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}}
\end{align*}

よって,x=4^yy はすべての実数 )

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=4^x

※ 定義域「すべての実数」は省略

[定石3]逆関数1[/定石3]
\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{(\colorbox{mistyrose}{$x-2$})\colorbox{lightcyan}{$+3$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-2$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$3$}}{x-2}\colorbox{lightgreen}{$+1$}

であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$1$}

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \dfrac{x+1}{x-2}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\
y(x-2) &= x+1\\
xy-2y &= x+1\\
xy-x &= 2y+1\\
x(y-1) &= 2y+1\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 1\ であるから\ y-1 \neq 0}}\\
x &= \dfrac{2y+1}{y-1} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-1\ で割る}}
\end{align*}

よって,x=\dfrac{2y+1}{y-1}y \neq 1

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\dfrac{2x+1}{x-1} ( x \neq 1

[定石3]逆関数1[/定石3]
\dfrac{2x+3}{x-1} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$2$}(\colorbox{mistyrose}{$x-1$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-1$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x-1}\colorbox{lightgreen}{$+2$}

であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$2$}

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \dfrac{2x+3}{x-1}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\
y(x-1) &= 2x+3\\
xy-y &= 2x+3\\
xy-2x &= y+3\\
x(y-2) &= y+3\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 2\ であるから\ y-2 \neq 0}}\\
x &= \dfrac{y+3}{y-2} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}}
\end{align*}

よって,x=\dfrac{y+3}{y-2}y \neq 2

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\dfrac{x+3}{x-2}

※ 定義域「x \neq 2」は省略

[定石3]逆関数1[/定石3]
\dfrac{-x+2}{x+3} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$-1$}(\colorbox{mistyrose}{$x+3$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x+3$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x+3}\colorbox{lightgreen}{$-1$}

であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$-1$}

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= \dfrac{-x+2}{x+3}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\
y(x+3) &= -x+2\\
xy+3y &= -x+2\\
xy+x &= -3y+2\\
x(y+1) &= -3y+2\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq -1\ であるから\ y+1 \neq 0}}\\
x &= \dfrac{-3y+2}{y+1} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}}
\end{align*}

よって,x=\dfrac{-3y+2}{y+1}y \neq -1

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\dfrac{-3x+2}{x+1}

※ 定義域「x \neq -1」は省略

[定石3]逆関数1[/定石3] x^2 \geqq 0 であるから,値域は y \geqq 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= x^2\\
x^2 &= y\\
x &= \pm\sqrt{y}
\end{align*}

この場合,y の値が1つ決まっても,x の値は1つに決まらない。よって,

(答)y=x^2 は逆関数をもたない。

[定石3]逆関数1[/定石3] x^2+2 \geqq 2 であるから,値域は y \geqq 2

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= x^2+2\\
y-2 & =x^2\\
x^2 &= y-2\\
\textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{y-2}}\\
x \geqq 0\ より\ x &= \sqrt{y-2}
\end{align*}

よって,x=\sqrt{y-2}y \geqq 2

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=\sqrt{x-2}

※ 定義域「x \geqq 2」は省略

[定石3]逆関数1[/定石3] -x^2 \leqq 0 であるから,値域は y \leqq 0

[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*}
y &= -x^2\\
x^2 & = -y\\
\textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{-y}}\\
x \leqq 0\ より\ x &= -\sqrt{-y}
\end{align*}

よって,x=-\sqrt{-y}y \leqq 0

[定石3]逆関数3[/定石3]

(答)y=-\sqrt{-x}

※ 定義域「x \leqq 0」は省略

前回と次回へのリンク
  • 20210612…初版公開。問題数4。
  • 20210616…授業に合わせて分数関数2、2次関数2を追加。

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