逆関数を求める

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【数学３】逆関数

２つの変数 $x$ ， $y$ について， $x$ の値が１つ決まると，それに対応して $y$ の値がただ１つ決まるとき， $y$ は $x$ の関数であるといいます。

逆に， $y$ の値が１つ決まると，それに対応して $x$ の値がただ１つ決まるなら， $x$ は $y$ の関数であると考えることができます。

一般に，関数 $y=f(x)$ において，値域内の $y$ の値が１つ決まるとき，それに対応して $x$ の値がただ１つ決まるなら， $x$ は $y$ の関数になります。この関数を $x=g(y)$ と表します。
　
このとき，変数 $y$ を $x$ に書き直した関数 $g(x)$ を，もとの関数 $f(x)$ の 逆関数 といい，記号で $f^{-1}(x)$ と表します。

関数とその逆関数では，定義域と値域が入れ替わります。
$f^{-1}(x)$ を見て， $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ を思い出した人，素敵です。そう！ $a$ と $\dfrac{1}{a}$ を逆数と呼ぶのと同じです。 $f^{-1}(x)$ は関数の世界での逆数を表しています。

$f(x)$ の逆関数 $g(x)$ の求め方

$y=f(x)$ の値域を求める
$y=f(x)$ を $x$ について解き， $x=g(y)$ の形にする
$x$ と $y$ を入れ替えて，y=g(x) とする
- 最初に求めた値域も $y$ を $x$ に替えて定義域にする

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の関数の逆関数を求めよ。

y=\sqrt{x}

[定石３]逆関数１[/定石３]

\sqrt{x} \geqq 0

であるから，値域は

y \geqq 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= \sqrt{x}　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{　} を消すために２乗する}}\\ y^2 &= x\\ x &= y^2　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=y^2$ （ $y \geqq 0$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=x^2$ 　（ $x \geqq 0$ ）

y=3x-1

（

0 \leqq x \leqq 2

）

[定石３]逆関数１[/定石３]

x=0

のとき

y=3 \cdot 0 -1=-1

x=2

のとき

y=3 \cdot 2 -1=5

　よって，値域は $-1 \leqq y \leqq 5$

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= 3x-1\\ y+1 &= 3x\\ \dfrac13y+\dfrac13 &= x\\ x &= \dfrac13y+\dfrac13　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=\dfrac13y+\dfrac13$ （ $-1 \leqq y \leqq 5$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\dfrac13x+\dfrac13$ 　（ $-1 \leqq x \leqq 5$ ）

y=-\sqrt{x}

[定石３]逆関数１[/定石３]

-\sqrt{x} \leqq 0

であるから，値域は

y \leqq 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= -\sqrt{x}　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{　} を消すために２乗する}}\\ y^2 &= x\\ x &= y^2　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=y^2$ （ $y \leqq 0$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=x^2$ 　（ $x \leqq 0$ ）

y=2^x

[定石３]逆関数１[/定石３]

2^x > 0

であるから，値域は

y > 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= 2^x　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{2}\ を両辺に}}\\ \log_{2}y &= \log_{2}2^x\\ \log_{2}y &= x\\ x &= \log_{2}y　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=\log_{2}y$ （ $y > 0$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\log_{2}x$

※ $x>0$ は真数条件だから不要です。

y=3^x

[定石３]逆関数１[/定石３]

3^x > 0

であるから，値域は

y > 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= 3^x　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{3}\ を両辺に}}\\ \log_{3}y &= \log_{3}3^x\\ \log_{3}y &= x\\ x &= \log_{3}y　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=\log_{3}y$ （ $y > 0$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\log_{3}x$

※ $x>0$ は真数条件だから不要です。

y=\log_{4}x

[定石３]逆関数１[/定石３]

\log_{4}x

はすべての実数をとるから，

値域はすべての実数

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= \log_{4}x　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 右辺に\log_{4}\ \Longrightarrow\ \log_{4}4=1\ を左辺に}}\\ y \times \log_{4}4 &= \log_{4}x\\ \log_{4}4^y &= \log_{4}x\\ 4^y &= x\\ x &= 4^y　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}

よって， $x=4^y$ （ $y$ はすべての実数）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=4^x$

※ 定義域「すべての実数」は省略

$y=\dfrac{x+1}{x-2}$

[定石３]逆関数１[/定石３]

\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{(\colorbox{mistyrose}{$x-2$})\colorbox{lightcyan}{$+3$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-2$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$3$}}{x-2}\colorbox{lightgreen}{$+1$}

であるから，値域は $y \neq \colorbox{lightgreen}{$1$}$

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= \dfrac{x+1}{x-2}\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x-2) &= x+1\\ xy-2y &= x+1\\ xy-x &= 2y+1\\ x(y-1) &= 2y+1\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 1\ であるから\ y-1 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{2y+1}{y-1}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-1\ で割る}} \end{align*}

よって， $x=\dfrac{2y+1}{y-1}$ （ $y \neq 1$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ 　（ $x \neq 1$ ）

$y=\dfrac{2x+3}{x-1}$

[定石３]逆関数１[/定石３]

\dfrac{2x+3}{x-1} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$2$}(\colorbox{mistyrose}{$x-1$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-1$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x-1}\colorbox{lightgreen}{$+2$}

であるから，値域は $y \neq \colorbox{lightgreen}{$2$}$

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= \dfrac{2x+3}{x-1}\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x-1) &= 2x+3\\ xy-y &= 2x+3\\ xy-2x &= y+3\\ x(y-2) &= y+3\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 2\ であるから\ y-2 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{y+3}{y-2}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}} \end{align*}

よって， $x=\dfrac{y+3}{y-2}$ （ $y \neq 2$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\dfrac{x+3}{x-2}$

※ 定義域「 $x \neq 2$ 」は省略

$y=\dfrac{-x+2}{x+3}$

[定石３]逆関数１[/定石３]

\dfrac{-x+2}{x+3} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$-1$}(\colorbox{mistyrose}{$x+3$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x+3$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x+3}\colorbox{lightgreen}{$-1$}

であるから，値域は $y \neq \colorbox{lightgreen}{$-1$}$

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= \dfrac{-x+2}{x+3}\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x+3) &= -x+2\\ xy+3y &= -x+2\\ xy+x &= -3y+2\\ x(y+1) &= -3y+2\\ &　　　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq -1\ であるから\ y+1 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{-3y+2}{y+1}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}} \end{align*}

よって， $x=\dfrac{-3y+2}{y+1}$ （ $y \neq -1$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\dfrac{-3x+2}{x+1}$

※ 定義域「 $x \neq -1$ 」は省略

y=x^2

[定石３]逆関数１[/定石３]

x^2 \geqq 0

であるから，値域は

y \geqq 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= x^2\\ x^2 &= y\\ x &= \pm\sqrt{y} \end{align*}

この場合， $y$ の値が１つ決まっても， $x$ の値は１つに決まらない。よって，

（答） $y=x^2$ は逆関数をもたない。

y=x^2+2

（

x \geqq 0

）

[定石３]逆関数１[/定石３]

x^2+2 \geqq 2

であるから，値域は

y \geqq 2

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= x^2+2\\ y-2 & =x^2\\ x^2 &= y-2\\ \textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{y-2}}\\ x \geqq 0\ より\ x &= \sqrt{y-2} \end{align*}

よって， $x=\sqrt{y-2}$ （ $y \geqq 2$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=\sqrt{x-2}$

※ 定義域「 $x \geqq 2$ 」は省略

y=-x^2

（

x \leqq 0

）

[定石３]逆関数１[/定石３]

-x^2 \leqq 0

であるから，値域は

y \leqq 0

[定石３]逆関数２[/定石３]

\begin{align*} y &= -x^2\\ x^2 & = -y\\ \textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{-y}}\\ x \leqq 0\ より\ x &= -\sqrt{-y} \end{align*}

よって， $x=-\sqrt{-y}$ （ $y \leqq 0$ ）

[定石３]逆関数３[/定石３]

（答） $y=-\sqrt{-x}$

※ 定義域「 $x \leqq 0$ 」は省略

前回と次回へのリンク

2021年6月17日逆関数の性質

編集ログ

20210612…初版公開。問題数4。
20210616…授業に合わせて分数関数2、２次関数2を追加。

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