気になるところをタップして確認しましょう。
2つの変数 x,y について,x の値が1つ決まると,それに対応して y の値がただ1つ決まるとき, y は x の関数である といいます。
逆に,y の値が1つ決まると,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら, x は y の関数である と考えることができます。
一般に,関数 y=f(x) において,値域内の y の値が1つ決まるとき,それに対応して x の値がただ1つ決まるなら,x は y の関数になります。この関数を x=g(y) と表します。
このとき,変数 y を x に書き直した関数 g(x) を,もとの関数 f(x) の 逆関数 といい,記号で f^{-1}(x) と表します。
- 関数とその逆関数では,定義域と値域が入れ替わります。
- f^{-1}(x) を見て,a^{-1}=\dfrac{1}{a} を思い出した人,素敵です。そう! a と \dfrac{1}{a} を逆数と呼ぶのと同じです。f^{-1}(x) は関数の世界での逆数を表しています。
何度も解いて体で覚えましょう!
次の関数の逆関数を求めよ。
[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*} y &= \sqrt{x} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ } を消すために2乗する}}\\ y^2 &= x\\ x &= y^2 \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=y^2( y \geqq 0 )
(答)y=x^2 ( x \geqq 0 )
よって,値域は -1 \leqq y \leqq 5
\begin{align*} y &= 3x-1\\ y+1 &= 3x\\ \dfrac13y+\dfrac13 &= x\\ x &= \dfrac13y+\dfrac13 \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=\dfrac13y+\dfrac13( -1 \leqq y \leqq 5 )
(答)y=\dfrac13x+\dfrac13 ( -1 \leqq x \leqq 5 )
[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*} y &= -\sqrt{x} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sqrt{ } を消すために2乗する}}\\ y^2 &= x\\ x &= y^2 \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=y^2( y \leqq 0 )
(答)y=x^2 ( x \leqq 0 )
\begin{align*} y &= 2^x \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{2}\ を両辺に}}\\ \log_{2}y &= \log_{2}2^x\\ \log_{2}y &= x\\ x &= \log_{2}y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=\log_{2}y( y > 0 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\log_{2}x
※ x>0 は 真数条件だから不要です。
\begin{align*} y &= 3^x \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 指数に\ x\ \Longrightarrow\ \log_{3}\ を両辺に}}\\ \log_{3}y &= \log_{3}3^x\\ \log_{3}y &= x\\ x &= \log_{3}y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=\log_{3}y( y > 0 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\log_{3}x
※ x>0 は 真数条件だから不要です。
値域は すべての実数
[定石3]逆関数2[/定石3]\begin{align*} y &= \log_{4}x \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 右辺に\log_{4}\ \Longrightarrow\ \log_{4}4=1\ を左辺に}}\\ y \times \log_{4}4 &= \log_{4}x\\ \log_{4}4^y &= \log_{4}x\\ 4^y &= x\\ x &= 4^y \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 左右入れ替えて\ x=f(y)\ の形に}} \end{align*}
よって,x=4^y( y はすべての実数 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=4^x
※ 定義域「すべての実数」は省略
\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{(\colorbox{mistyrose}{$x-2$})\colorbox{lightcyan}{$+3$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-2$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$3$}}{x-2}\colorbox{lightgreen}{$+1$}
であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$1$}
[定石3]逆関数2[/定石3]\begin{align*} y &= \dfrac{x+1}{x-2}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x-2) &= x+1\\ xy-2y &= x+1\\ xy-x &= 2y+1\\ x(y-1) &= 2y+1\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 1\ であるから\ y-1 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{2y+1}{y-1} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-1\ で割る}} \end{align*}
よって,x=\dfrac{2y+1}{y-1}( y \neq 1 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\dfrac{2x+1}{x-1} ( x \neq 1 )
\dfrac{2x+3}{x-1} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$2$}(\colorbox{mistyrose}{$x-1$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x-1$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x-1}\colorbox{lightgreen}{$+2$}
であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$2$}
[定石3]逆関数2[/定石3]\begin{align*} y &= \dfrac{2x+3}{x-1}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x-1) &= 2x+3\\ xy-y &= 2x+3\\ xy-2x &= y+3\\ x(y-2) &= y+3\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq 2\ であるから\ y-2 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{y+3}{y-2} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}} \end{align*}
よって,x=\dfrac{y+3}{y-2}( y \neq 2 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\dfrac{x+3}{x-2}
※ 定義域「x \neq 2」は省略
\dfrac{-x+2}{x+3} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$-1$}(\colorbox{mistyrose}{$x+3$})\colorbox{lightcyan}{$+5$}}{\colorbox{mistyrose}{$x+3$}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$5$}}{x+3}\colorbox{lightgreen}{$-1$}
であるから,値域は y \neq \colorbox{lightgreen}{$-1$}
[定石3]逆関数2[/定石3]\begin{align*} y &= \dfrac{-x+2}{x+3}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 分母を払う}}\\ y(x+3) &= -x+2\\ xy+3y &= -x+2\\ xy+x &= -3y+2\\ x(y+1) &= -3y+2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y \neq -1\ であるから\ y+1 \neq 0}}\\ x &= \dfrac{-3y+2}{y+1} \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ y-2\ で割る}} \end{align*}
よって,x=\dfrac{-3y+2}{y+1}( y \neq -1 )
[定石3]逆関数3[/定石3](答)y=\dfrac{-3x+2}{x+1}
※ 定義域「x \neq -1」は省略
\begin{align*} y &= x^2\\ x^2 &= y\\ x &= \pm\sqrt{y} \end{align*}
この場合,y の値が1つ決まっても,x の値は1つに決まらない。よって,
(答)y=x^2 は逆関数をもたない。
[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*} y &= x^2+2\\ y-2 & =x^2\\ x^2 &= y-2\\ \textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{y-2}}\\ x \geqq 0\ より\ x &= \sqrt{y-2} \end{align*}
よって,x=\sqrt{y-2}( y \geqq 2 )
(答)y=\sqrt{x-2}
※ 定義域「x \geqq 2」は省略
[定石3]逆関数2[/定石3]
\begin{align*} y &= -x^2\\ x^2 & = -y\\ \textcolor{orange}{x} &\textcolor{orange}{=\pm\sqrt{-y}}\\ x \leqq 0\ より\ x &= -\sqrt{-y} \end{align*}
よって,x=-\sqrt{-y}( y \leqq 0 )
(答)y=-\sqrt{-x}
※ 定義域「x \leqq 0」は省略
- 20210612…初版公開。問題数4。
- 20210616…授業に合わせて分数関数2、2次関数2を追加。