分数関数と直線の共有点を求める

分数関数と直線の共有点の座標を求める

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共有点の座標を求める!
  1. 連立して1文字消去した方程式を作る
  2. 方程式を解く
  3. 共有点の座標を求める
  • 直線と放物線,放物線と放物線,分数関数と直線などなど,どんな組合せでも考え方は同じです。
     
  • 簡単な例として,
    直線 \colorbox{mistyrose}{$y$}=x-2 と放物線 \colorbox{mistyrose}{$y$}=x^2-2x
    の共有点の座標を求めてみましょう。
  1. 連立して \colorbox{mistyrose}{$y$} を消去した方程式を作ります。
    x-2=x^2-2x
  2. この方程式を解きます。
    x-2=x^2-2x を解いて,x=1,\ 2
  3. 共有点の座標を求めます。
    x=1,\ 2y=x-2 に代入して
      x=1 のとき y=-1
      x=2 のとき y=0

(答)(1,\ -1),\ (2,\ 0)

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

共有点の座標 ⇒ 連立して1文字消去

\colorbox{mistyrose}{$y$}=x\colorbox{mistyrose}{$y$}=\dfrac{2}{x-1} に代入して

\begin{align*}
x &= \dfrac{2}{x-1}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に\ (x-1)\ をかけて}}\\
x(x-1) &= 2\\
x^2-x &= 2\\
x^2-x-2 &= 0\\
(x+1)(x-2) &= 0\\
x &= -1,\ 2
\end{align*}

これらを y=x に代入して

\begin{align*}
x=-1\ のとき &   y=-1\\
x=2\ のとき &   y=2
\end{align*}

(答)(-1,\ -1),\ (2,\ 2)

共有点の座標 ⇒ 連立して1文字消去

\colorbox{mistyrose}{$y$}=x-1\colorbox{mistyrose}{$y$}=\dfrac{3}{x+1} に代入して

\begin{align*}
x-1 &= \dfrac{3}{x+1}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に\ (x+1)\ をかけて}}\\
(x-1)(x+1) &= 3\\
x^2-1 &= 3\\
x^2 &= 4\\
x &= -2,\ 2
\end{align*}

これらを y=x-1 に代入して

\begin{align*}
x=-2\ のとき &   y=(-2)-1=-3\\
x=2\ のとき &   y=2-1=1
\end{align*}

(答)(-2,\ -3),\ (2,\ 1)

共有点の座標 ⇒ 連立して1文字消去

\colorbox{mistyrose}{$y$}=\dfrac12x\colorbox{mistyrose}{$y$}=\dfrac{3}{x+1} に代入して

\begin{align*}
\dfrac12x &= \dfrac{3}{x+1}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に\ 2(x+1)\ をかけて}}\\
\dfrac12x \times 2(x+1)&= \dfrac{3}{x+1} \times 2(x+1)\\\\
x(x+1) &= 6\\
x^2+x &= 6\\
x^2+x-6 &= 0\\
(x-2)(x+3) &= 0\\
x &= -3,\ 2
\end{align*}

これらを y=\dfrac12x に代入して

\begin{align*}
x=-3\ のとき &   y=\dfrac12 \times (-3)=-\dfrac32\\
x=2\ のとき &   y=\dfrac12 \times 2=1
\end{align*}

(答)\left(-3,\ -\dfrac32\right),\ (2,\ 1)

共有点の座標 ⇒ 連立して1文字消去

\colorbox{mistyrose}{$y$}=\dfrac12x\colorbox{mistyrose}{$y$}=-3 に代入して

\begin{align*}
-3 &= \dfrac{3}{x+1}\\
&   \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に\ (x+1)\ をかけて}}\\
-3(x+1) &= 3\\\\
-3x-3 &= 3\\
-3x &= 6\\
x &= -2
\end{align*}

これらを y=-3 に代入して・・・できないので y=-3

(答)\left(-2,\ -3)

  • 初版公開。問題数2。

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