気になるところをタップして確認しましょう。
- 直交座標の x,\ y の方程式を，単に方程式と呼ぶことにします。
- 方程式を極方程式に変換したいときは簡単です。r,\ \theta に変換してから，どこまで変形するかが少し分かりにくいかもしれません。
方程式 ⇒ 極方程式
- x=r\cos\theta，y=r\sin\theta を代入する。
- 整理する。
- 三角関数の公式を利用して、できるだけ簡単にする。
- 極方程式を方程式に変換したいときは少し工夫が必要です。与えられた極方程式を上手に変形し，３つの式を作っていきます。でもパズルを解くみたいで楽しいです。
極方程式 ⇒ 方程式
- 極方程式を変形して，以下の式をつくりだす。
- x = \colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}
- y = \colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}
- x^2+y^2 = \colorbox{lightgreen}{$r^2$}
- ３つ使う場合があれば、１つしか使わないこともあります。r,\ \theta が上手に消えれば OK です。
- ３つの式で置き換えます。
- 整理する。
Happy Math-ing!
三角関数の相互関係
- \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
- \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
- 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}
加法定理
- 角度は \alpha \beta \alpha \beta の順にセット！
- \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$+$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
- \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$-$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$-$} \cos\alpha\sin\beta
- \sin・・・符号は一緒
- \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$+$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$-$} \sin\alpha\sin\beta
- \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$-$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
- \cos・・・符号を変える
２倍角の公式
- \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha
- \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
\textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 1 -2 \sin^2\alpha
\textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1\sin^2\alpha - \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
Happy Math-ing!
何度も解いて体で覚えましょう！
[問題文]次の曲線を極方程式で表せ。[/問題文]双曲線上の点 {\rm P}(x,\ y) の極座標を (r,\ \theta) とすると
x=r\cos\theta，y=r\sin\theta
これらを x^2-y^2=1 に代入すると
\begin{align*}
(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2 &= 1\\
r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta &= 1\\
r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) &= 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \cos{2\theta} = \cos^2\theta-\sin^2\theta}} & \\
r^2\cos{2\theta} &= 1
\end{align*}（答）r^2\cos{2\theta} = 1
楕円上の点 {\rm P}(x,\ y) の極座標を (r,\ \theta) とすると
x=r\cos\theta，y=r\sin\theta
これらを x^2+2y^2=4 に代入すると
\begin{align*}
(r\cos\theta)^2+2(r\sin\theta)^2 &= 4\\
r^2\cos^2\theta +2 r^2\sin^2\theta &= 4\\
r^2(\cos^2\theta +2 \sin^2\theta) &= 4\\
r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta + \sin^2\theta) &= 4\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1}} & \\
r^2(1+\sin^2\theta) &= 4
\end{align*}（答）r^2(1+\sin^2\theta) = 4
曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると
x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}，y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}，\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2\begin{align*}
r^2 &=2r(\cos\theta+\sin\theta)\\
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 2\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$} +2\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}\\
x^2+y^2 &= 2x+2y\\
x^2+y^2-2x-2y &= 0
\end{align*}（答）x^2+y^2-2x-2y = 0
曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると
x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}，y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}，\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2\begin{align*}
r(\sin\theta+\cos\theta) &= 1\\
\colorbox{mistyrose}{$r\sin\theta$} + \colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
x+y &= 1
\end{align*}（答）x+y = 1
曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると
x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}，y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}，\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2\begin{align*}
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 2\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}\\
x^2+y^2 &= 2y\\
x^2+y^2-2y &= 0
\end{align*}（答）x^2+y^2-2y = 0
曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると
x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}，y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}，\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2\begin{align*}
r(2+\cos\theta) &= 1\\
2r+\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
2r+x &= 1\\
2r &= 1-x
\end{align*}両辺を２乗して
\begin{align*}
(2r)^2 &= (1-x)^2\\
4\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 1-2x+x^2\\
4(x^2+y^2) &= 1-2x+x^2\\
4x^2+4y^2 &= 1-2x+x^2\\
3x^2+4y^2+2x-1&=0
\end{align*}（答）3x^2+4y^2+2x-1 = 0
曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると
x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}，y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}，\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2\begin{align*}
r(1+2\cos\theta) &= 1\\
r+2\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
r+2x &= 1\\
r &= 1-2x
\end{align*}両辺を２乗して
\begin{align*}
r^2 &= (1-2x)^2\\
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 1-4x+4x^2\\
x^2+y^2 &= 1-4x+4x^2\\
-3x^2+y^2+4x-1 &= 0\\
3x^2-y^2-4x+1&=0
\end{align*}（答）3x^2-y^2-4y+1 = 0
過去と未来へのリンク
- 20210606…初版公開。問題数7。
