方程式と極方程式

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

  • 直交座標の x,\ y の方程式を,単に方程式と呼ぶことにします。
  • 方程式を極方程式に変換したいときは簡単です。r,\ \theta に変換してから,どこまで変形するかが少し分かりにくいかもしれません。
方程式 ⇒ 極方程式
  1. x=r\cos\thetay=r\sin\theta を代入する。
  2. 整理する。
  3. 三角関数の公式を利用して、できるだけ簡単にする。
  • 極方程式を方程式に変換したいときは少し工夫が必要です。与えられた極方程式を上手に変形し,3つの式を作っていきます。でもパズルを解くみたいで楽しいです。
極方程式 ⇒ 方程式
  1. 極方程式を変形して,以下の式をつくりだす。
    • x = \colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$}
    • y = \colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}
    • x^2+y^2 = \colorbox{lightgreen}{$r^2$}
    • 3つ使う場合があれば、1つしか使わないこともあります。r,\ \theta が上手に消えれば OK です。
  2. 3つの式で置き換えます。
  3. 整理する。

Happy Math-ing!

三角関数の相互関係

  • \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
  • 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

加法定理

  • 角度は \alpha \beta \alpha \beta の順にセット!
  • \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$+$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
  • \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$-$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$-$} \cos\alpha\sin\beta
    • \sin・・・符号は一緒
  • \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$+$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$-$} \sin\alpha\sin\beta
  • \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$-$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
    • \cos・・・符号を変える

2倍角の公式

  • \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha
  • \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
    \textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 1 -2 \sin^2\alpha
    \textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1\sin^2\alpha
  • \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

[問題文]次の曲線を極方程式で表せ。[/問題文]

双曲線上の点 {\rm P}(x,\ y) の極座標を (r,\ \theta) とすると

x=r\cos\theta,y=r\sin\theta

これらを x^2-y^2=1 に代入すると

\begin{align*}
(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2 &= 1\\
r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta &= 1\\
r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) &= 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \cos{2\theta} = \cos^2\theta-\sin^2\theta}} & \\
r^2\cos{2\theta} &= 1
\end{align*}

(答)r^2\cos{2\theta} = 1

楕円上の点 {\rm P}(x,\ y) の極座標を (r,\ \theta) とすると

x=r\cos\theta,y=r\sin\theta

これらを x^2+2y^2=4 に代入すると

\begin{align*}
(r\cos\theta)^2+2(r\sin\theta)^2 &= 4\\
r^2\cos^2\theta +2 r^2\sin^2\theta &= 4\\
r^2(\cos^2\theta +2 \sin^2\theta) &= 4\\
r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta + \sin^2\theta) &= 4\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1}} & \\
r^2(1+\sin^2\theta) &= 4
\end{align*}

(答)r^2(1+\sin^2\theta) = 4

[問題文]次の極方程式の表す曲線を,直交座標の x,\ y の方程式で表せ。[/問題文]

曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると

x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$},y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$},\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2
r=2(\cos\theta+\sin\theta) の両辺に r をかけて

\begin{align*}
r^2 &=2r(\cos\theta+\sin\theta)\\
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 2\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$} +2\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}\\
x^2+y^2 &= 2x+2y\\
x^2+y^2-2x-2y &= 0
\end{align*}

(答)x^2+y^2-2x-2y = 0

曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると

x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$},y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$},\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2
r=\dfrac{1}{\sin\theta+\cos\theta} の分母をはらって

\begin{align*}
r(\sin\theta+\cos\theta) &= 1\\
\colorbox{mistyrose}{$r\sin\theta$} + \colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
x+y &= 1
\end{align*}

(答)x+y = 1

曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると

x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$},y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$},\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2
r=2\sin\theta の両辺に r をかけて

\begin{align*}
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 2\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$}\\
x^2+y^2 &= 2y\\
x^2+y^2-2y &= 0
\end{align*}

(答)x^2+y^2-2y = 0

曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると

x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$},y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$},\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2
r=\dfrac{1}{2+\cos\theta} の分母を払って

\begin{align*}
r(2+\cos\theta) &= 1\\
2r+\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
2r+x &= 1\\
2r &= 1-x
\end{align*}

両辺を2乗して

\begin{align*}
(2r)^2 &= (1-x)^2\\
4\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 1-2x+x^2\\
4(x^2+y^2) &= 1-2x+x^2\\
4x^2+4y^2 &= 1-2x+x^2\\
3x^2+4y^2+2x-1&=0
\end{align*}

(答)3x^2+4y^2+2x-1 = 0

曲線上の点 {\rm P}(r,\ \theta) の直交座標を (x,\ y) とすると

x=\colorbox{mistyrose}{$r\cos\theta$},y=\colorbox{lightcyan}{$r\sin\theta$},\colorbox{lightgreen}{$r^2$}=x^2+y^2
r=\dfrac{1}{1+2\cos\theta} の分母を払って

\begin{align*}
r(1+2\cos\theta) &= 1\\
r+2\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$} &= 1\\
r+2x &= 1\\
r &= 1-2x
\end{align*}

両辺を2乗して

\begin{align*}
r^2 &= (1-2x)^2\\
\colorbox{lightgreen}{$r^2$} &= 1-4x+4x^2\\
x^2+y^2 &= 1-4x+4x^2\\
-3x^2+y^2+4x-1 &= 0\\
3x^2-y^2-4x+1&=0
\end{align*}

(答)3x^2-y^2-4y+1 = 0

過去と未来へのリンク
  • 20210606…初版公開。問題数7。

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