極方程式で表す

• 平面上の曲線が，極座標 (r,\ \theta) の方程式で表されるとき，その方程式をこの曲線の 極方程式 といいます。
• 例えば，簡単な方程式を極方程式にすると以下のようになります。

\begin{align*}
x^2+y^2 = 4　& ⇒　r=2\\\\
y=x　& ⇒　\theta = \dfrac{\pi}{4}\\\\
x=1　& ⇒　r = \dfrac{1}{\cos\theta}\\\\
y=1　& ⇒　r = \dfrac{1}{\sin\theta}
\end{align*}

• 以下に一般的なパターンをまとめておきます。覚えてしまうよりも，考え方を身につけましょう。

r = a

r = \dfrac{a}{\cos\theta}

r = \dfrac{a}{\sin\theta}

\theta = \alpha

r = 2a\cos\theta

• あえて並べてみましたが・・・・これ、覚えますか？
• このページではアニメーションを利用して解説しています。少し画像サイズが大きくて重いですが、考え方を身に着けたい人はじっくりと御覧ください。

点 {\rm P} が円上を動くから

この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\
\colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$2$}，\theta は任意の値\\
よって　r & = 2
\end{align*}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから，{\rm OP} の長さは常に 2 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が円上を動くから

この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\
\colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$3$}，\theta は任意の値\\
よって　r & = 3
\end{align*}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから，{\rm OP} の長さは常に 3 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\
r & = \dfrac{1}{\cos\theta}
\end{align*}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから，{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり，\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから，\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\
r & = \dfrac{2}{\cos\theta}
\end{align*}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから，{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり，\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから，\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\
r & = \dfrac{1}{\sin\theta}
\end{align*}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから，{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり，\theta = 0, \pi といった値を取らないから，\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\
r & = \dfrac{2}{\sin\theta}
\end{align*}

（答）r=\dfrac{2}{\sin\theta}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから，{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり，\theta = 0, \pi といった値を取らないから，\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

• 20210606…初版公開。問題数6。アニメーション解説をつけたので重いページになってしまった。あと直線と円を１つずつ追加する予定。
• 20210607…授業前にチェックしたら，答えが間違っていたので修正。