極方程式で表す

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

  • 平面上の曲線が,極座標 (r,\ \theta) の方程式で表されるとき,その方程式をこの曲線の 極方程式 といいます。
  • 例えば,簡単な方程式を極方程式にすると以下のようになります。
\begin{align*}
x^2+y^2 = 4 & ⇒ r=2\\\\
y=x & ⇒ \theta = \dfrac{\pi}{4}\\\\
x=1 & ⇒ r = \dfrac{1}{\cos\theta}\\\\
y=1 & ⇒ r = \dfrac{1}{\sin\theta}
\end{align*}
  • 以下に一般的なパターンをまとめておきます。覚えてしまうよりも,考え方を身につけましょう。
よくある極方程式

{\rm O} を中心とする半径 a の円

r = a

極座標が (a,\ 0) である点 {\rm A} を通り,始線に垂直な直線

r = \dfrac{a}{\cos\theta}

極座標が \left(a,\ \dfrac{\pi}{2}\right) である点 {\rm A} を通り,始線に平行な直線

r = \dfrac{a}{\sin\theta}

{\rm O} を通り,始線 {\rm OX}\alpha の角をなす直線

\theta = \alpha

中心 {\rm A} の極座標が (a,\ 0) である半径 a の円

r = 2a\cos\theta
  • あえて並べてみましたが・・・・これ、覚えますか?
  • このページではアニメーションを利用して解説しています。少し画像サイズが大きくて重いですが、考え方を身に着けたい人はじっくりと御覧ください。

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

[問題文]極座標に関して,次の円や直線の極方程式を求めよ。[/問題文]

{\rm P} が円上を動くから

この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\
\colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$2$},\theta は任意の値\\
よって r & = 2
\end{align*}
[BlockAnswer “r=2”]

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから,{\rm OP} の長さは常に 2 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

{\rm P} が円上を動くから

この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\
\colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$3$},\theta は任意の値\\
よって r & = 3
\end{align*}
[BlockAnswer “r=3”]

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから,{\rm OP} の長さは常に 3 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

{\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\
r & = \dfrac{1}{\cos\theta}
\end{align*}
[BlockAnswer “r=\\dfrac{1}{\\cos\\theta}”]

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり,\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから,\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

{\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\
r & = \dfrac{2}{\cos\theta}
\end{align*}
[BlockAnswer “r=\\dfrac{2}{\\cos\\theta}”]

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり,\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから,\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

{\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\
r & = \dfrac{1}{\sin\theta}
\end{align*}
[BlockAnswer “r=\\dfrac{1}{\\sin\\theta}”]

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり,\theta = 0, \pi といった値を取らないから,\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

{\rm P} が直線上を動くから

この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\
\colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\
r & = \dfrac{2}{\sin\theta}
\end{align*}

(答)r=\dfrac{2}{\sin\theta}

※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり,\theta = 0, \pi といった値を取らないから,\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

  • 20210606…初版公開。問題数6。アニメーション解説をつけたので重いページになってしまった。あと直線と円を1つずつ追加する予定。
  • 20210607…授業前にチェックしたら,答えが間違っていたので修正。

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