気になるところをタップして確認しましょう。
- 平面上の曲線が,極座標 (r,\ \theta) の方程式で表されるとき,その方程式をこの曲線の 極方程式 といいます。
- 例えば,簡単な方程式を極方程式にすると以下のようになります。
\begin{align*} x^2+y^2 = 4 & ⇒ r=2\\\\ y=x & ⇒ \theta = \dfrac{\pi}{4}\\\\ x=1 & ⇒ r = \dfrac{1}{\cos\theta}\\\\ y=1 & ⇒ r = \dfrac{1}{\sin\theta} \end{align*}
- 以下に一般的なパターンをまとめておきます。覚えてしまうよりも,考え方を身につけましょう。
- あえて並べてみましたが・・・・これ、覚えますか?
- このページではアニメーションを利用して解説しています。少し画像サイズが大きくて重いですが、考え方を身に着けたい人はじっくりと御覧ください。
何度も解いて体で覚えましょう!
[問題文]極座標に関して,次の円や直線の極方程式を求めよ。[/問題文]点 {\rm P} が円上を動くから
この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\ \colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$2$},\theta は任意の値\\ よって r & = 2 \end{align*}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから,{\rm OP} の長さは常に 2 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が円上を動くから
この円上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} & = \colorbox{lightcyan}{$r$} であるから\\ \colorbox{lightcyan}{$r$} & = \colorbox{mistyrose}{$3$},\theta は任意の値\\ よって r & = 3 \end{align*}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が円上を動くから,{\rm OP} の長さは常に 3 です。{\rm P} が動けば \theta は自由に変化します。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから
この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\ \colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\ r & = \dfrac{1}{\cos\theta} \end{align*}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり,\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから,\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから
この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm OA$} であるから\\ \colorbox{mistyrose}{$r$} \times \cos\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\ r & = \dfrac{2}{\cos\theta} \end{align*}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に垂直な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と垂直になることはありません。つまり,\theta = \dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} といった値を取らないから,\cos\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから
この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\ \colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$1$}\\ r & = \dfrac{1}{\sin\theta} \end{align*}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり,\theta = 0, \pi といった値を取らないから,\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

点 {\rm P} が直線上を動くから
この直線上の点 {\rm P} の極座標を (r,\ \theta) とすると
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$\rm OP$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$\rm BP$} であるから\\ \colorbox{mistyrose}{$r$} \times \sin\theta & = \colorbox{lightcyan}{$2$}\\ r & = \dfrac{2}{\sin\theta} \end{align*}
(答)r=\dfrac{2}{\sin\theta}
※ 下の図を参考にしてください。アニメーション解説もあります。
※ 点 {\rm P} が始線に平行な直線上を動くから,{\rm OP} が始線と平行になることはありません。つまり,\theta = 0, \pi といった値を取らないから,\sin\theta \neq 0 となり両辺を割ることが可能です。

アニメーションで解説します。横画面でどうぞ。

- 20210606…初版公開。問題数6。アニメーション解説をつけたので重いページになってしまった。あと直線と円を1つずつ追加する予定。
- 20210607…授業前にチェックしたら,答えが間違っていたので修正。