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極座標とは
- 平面上に点 {\rm O} と半直線 {\rm OX} を定めます。この平面上の点 {\rm P} の位置は， {\rm OP} の長さ r と {\rm OX} から {\rm OP} へ測った角 \theta の大きさで決まります。
- このとき，２つの数の組 (r,\ \theta) を，点 {\rm P} の 極座標 といいます。考え方は極形式と同じです。\textcolor{orange}{z = r(\cos\theta+i\sin\theta)}
- また，点 {\rm O} を 極 ，半直線 {\rm OX} を 始線 ， \theta を 偏角 といいます。
- なお偏角 \thetaは一般角，例えば 0 \leqq \theta < 2\pi の範囲で考えればただ１通りに決まります。
直交座標とは
- 新しく登場した極座標に対して，これまで用いてきた x 座標と y 座標の組 (x,\ y) で表した座標を 直交座標 といいます。こちらは中学校時代からおなじみの座標です。
極座標と直交座標の変換
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y)，極座標を (r,\ \theta) とすると
- x=r\cos\theta， y=r\sin\theta
- x は \cos y は \sin
- r=\sqrt{x^2+y^2}
- r \neq 0 のとき，\cos\theta = \dfrac{x}{r}，\sin\theta = \dfrac{y}{r}
極座標が次のような点の直交座標を求めよ。
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=2，\theta = \dfrac{\pi}{3} だから
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
\end{align*}よって，点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ \sqrt{3})}\ }}点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=2，\theta = \dfrac{\pi}{6} だから
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1
\end{align*}よって，点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(\sqrt{3},\ 1)}\ }}点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=\sqrt{2}，\theta = \dfrac{\pi}{4} だから
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= \sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= \sqrt{2} \sin \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1
\end{align*}よって，点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ 1)}\ }}点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=3，\theta = \pi だから
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 3 \cos \pi = 3 \times (-1) = -3\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 3 \sin \pi = 3 \times 0 = 0
\end{align*}よって，点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(-3,\ 0)}\ }}直交座標が次のような点の極座標を求めよ。ただし，偏角 \theta の範囲は 0 \leqq \theta < 2\pi とする。
x=-\sqrt{3}，y=1 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac56\pi
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}\\
&= \sqrt{3+1}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{1}{2}\\
\end{align*}よって，点 {\rm P} の極座標の１つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac56\pi\right)}\ }}
x=2，y=2 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{\pi}{4}
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{2^2+2^2}\\
&= \sqrt{4+4}\\
&= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{align*}よって，点 {\rm P} の極座標の１つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2\sqrt{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right)}\ }}
x=-1，y=\sqrt{3} であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{2}{3}\pi
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\
&= \sqrt{1+3}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{align*}よって，点 {\rm P} の極座標の１つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{2}{3}\pi\right)}\ }}
x=-\sqrt{3}，y=-1 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{7}{6}\pi
\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\
&= \sqrt{3+1}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac12\\
\end{align*}よって，点 {\rm P} の極座標の１つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{7}{6}\pi\right)}\ }}過去と未来へのリンク
- 20210603…初版公開。問題数8。
