極座標と直交座標を変換する

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

極座標とは

  • 平面上に点 {\rm O} と半直線 {\rm OX} を定めます。この平面上の点 {\rm P} の位置は, {\rm OP} の長さ r {\rm OX} から {\rm OP} へ測った角 \theta の大きさで決まります。
  • このとき,2つの数の組 (r,\ \theta) を,点 {\rm P} 極座標 といいます。考え方は極形式と同じです。\textcolor{orange}{z = r(\cos\theta+i\sin\theta)}
  • また,点 {\rm O},半直線 {\rm OX} 始線 \theta 偏角 といいます。
    • なお偏角 \thetaは一般角,例えば 0 \leqq \theta < 2\pi の範囲で考えればただ1通りに決まります。

直交座標とは

  • 新しく登場した極座標に対して,これまで用いてきた x 座標と y 座標の組 (x,\ y) で表した座標を 直交座標 といいます。こちらは中学校時代からおなじみの座標です。
極座標と直交座標の変換

{\rm P} の直交座標を (x,\ y),極座標を (r,\ \theta) とすると

  1. x=r\cos\theta, y=r\sin\theta
    • x\cos  y\sin
  2. r=\sqrt{x^2+y^2}
  3. r \neq 0 のとき,\cos\theta = \dfrac{x}{r},\sin\theta = \dfrac{y}{r}

練習問題にチャレンジ!

極座標が次のような点の直交座標を求めよ。

{\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると

r=2\theta = \dfrac{\pi}{3} だから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
\end{align*}

よって,点 {\rm P} の直交座標は

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ \sqrt{3})}\ }}

{\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると

r=2\theta = \dfrac{\pi}{6} だから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1
\end{align*}

よって,点 {\rm P} の直交座標は

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(\sqrt{3},\ 1)}\ }}

{\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると

r=\sqrt{2}\theta = \dfrac{\pi}{4} だから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= \sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= \sqrt{2} \sin \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1
\end{align*}

よって,点 {\rm P} の直交座標は

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ 1)}\ }}

{\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると

r=3\theta = \pi だから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 3 \cos \pi = 3 \times (-1) = -3\\
\colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 3 \sin \pi = 3 \times 0 = 0
\end{align*}

よって,点 {\rm P} の直交座標は

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(-3,\ 0)}\ }}

直交座標が次のような点の極座標を求めよ。ただし,偏角 \theta の範囲は 0 \leqq \theta < 2\pi とする。

x=-\sqrt{3}y=1 であるから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}\\
&= \sqrt{3+1}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{1}{2}\\
\end{align*}
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac56\pi

よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac56\pi\right)}\ }}
x=2y=2 であるから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{2^2+2^2}\\
&= \sqrt{4+4}\\
&= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{align*}
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{\pi}{4}

よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2\sqrt{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right)}\ }}
x=-1y=\sqrt{3} であるから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\
&= \sqrt{1+3}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{align*}
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{2}{3}\pi

よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{2}{3}\pi\right)}\ }}
x=-\sqrt{3}y=-1 であるから

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\
&= \sqrt{3+1}\\
&= \sqrt{4} = 2\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac12\\
\end{align*}
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{7}{6}\pi

よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}

\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{7}{6}\pi\right)}\ }}
  • 20210603…初版公開。問題数8。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です