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極座標とは
- 平面上に点 {\rm O} と半直線 {\rm OX} を定めます。この平面上の点 {\rm P} の位置は, {\rm OP} の長さ r と {\rm OX} から {\rm OP} へ測った角 \theta の大きさで決まります。
- このとき,2つの数の組 (r,\ \theta) を,点 {\rm P} の 極座標 といいます。考え方は極形式と同じです。\textcolor{orange}{z = r(\cos\theta+i\sin\theta)}
- また,点 {\rm O} を 極 ,半直線 {\rm OX} を 始線 , \theta を 偏角 といいます。
- なお偏角 \thetaは一般角,例えば 0 \leqq \theta < 2\pi の範囲で考えればただ1通りに決まります。
直交座標とは
- 新しく登場した極座標に対して,これまで用いてきた x 座標と y 座標の組 (x,\ y) で表した座標を 直交座標 といいます。こちらは中学校時代からおなじみの座標です。
極座標が次のような点の直交座標を求めよ。
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=2,\theta = \dfrac{\pi}{3} だから
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\\ \colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{align*}
よって,点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ \sqrt{3})}\ }}
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=2,\theta = \dfrac{\pi}{6} だから
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 2 \cos \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\\ \colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 2 \sin \dfrac{\pi}{6} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{align*}
よって,点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(\sqrt{3},\ 1)}\ }}
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=\sqrt{2},\theta = \dfrac{\pi}{4} だから
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= \sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\\ \colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= \sqrt{2} \sin \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \end{align*}
よって,点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(1,\ 1)}\ }}
点 {\rm P} の直交座標を (x,\ y) とすると
r=3,\theta = \pi だから
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$x = r\cos\theta$} &= 3 \cos \pi = 3 \times (-1) = -3\\ \colorbox{mistyrose}{$y = r\sin\theta$} &= 3 \sin \pi = 3 \times 0 = 0 \end{align*}
よって,点 {\rm P} の直交座標は
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{(-3,\ 0)}\ }}
直交座標が次のような点の極座標を求めよ。ただし,偏角 \theta の範囲は 0 \leqq \theta < 2\pi とする。
x=-\sqrt{3},y=1 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac56\pi
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}\\ &= \sqrt{3+1}\\ &= \sqrt{4} = 2\\\\ \colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{1}{2}\\ \end{align*}
よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac56\pi\right)}\ }}
x=2,y=2 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{\pi}{4}
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{2^2+2^2}\\ &= \sqrt{4+4}\\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\\\ \colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{align*}
よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2\sqrt{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right)}\ }}
x=-1,y=\sqrt{3} であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{2}{3}\pi
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\ &= \sqrt{1+3}\\ &= \sqrt{4} = 2\\\\ \colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}\\ \colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{align*}
よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{2}{3}\pi\right)}\ }}
x=-\sqrt{3},y=-1 であるから
0 \leqq \theta < 2\pi では \theta = \dfrac{7}{6}\pi
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$r = \sqrt{x^2+y^2}$} &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\ &= \sqrt{3+1}\\ &= \sqrt{4} = 2\\\\ \colorbox{lightcyan}{$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$} &= \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \colorbox{lightcyan}{$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$} &= \dfrac{-1}{2} = -\dfrac12\\ \end{align*}
よって,点 {\rm P} の極座標の1つは \textcolor{orange}{(r,\ \theta)\ だから}
\textcolor{red}{\underline{\ \textcolor{black}{\left(2,\ \dfrac{7}{6}\pi\right)}\ }}
- 20210603…初版公開。問題数8。