三角関数の相互関係
- \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
- \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
- 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}
加法定理
- 角度は \alpha \beta \alpha \beta の順にセット！
- \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$+$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
- \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$-$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$-$} \cos\alpha\sin\beta
- \sin・・・符号は一緒
- \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$+$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$-$} \sin\alpha\sin\beta
- \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$-$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
- \cos・・・符号を変える
２倍角の公式
- \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha
- \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
\textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 1 -2 \sin^2\alpha
\textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1\sin^2\alpha - \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
Happy Math-ing!
\cos\theta と \tan\theta を含む公式を考えよう！
\textcolor{orange}{1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}}点 {\rm P} が動く！ ⇒ 軌跡！ ⇒ 点 {\rm P}(x,\ y) とおく！
x=\dfrac{1}{\cos\theta},\ y=\tan\theta とすると 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} より\begin{align*}
1+\tan^2\theta &= \left(\dfrac{1}{\cos\theta}\right)^2\\\\
1+y^2 &= x^2\\
1 &= x^2-y^2
\end{align*}よって，点 {\rm P}\left(\dfrac{1}{\cos\theta},\ \tan\theta\right) は
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{双曲線\ x^2-y^2=1\ 上を動く。}}}\cos\theta と \tan\theta を含む公式を考えよう！
\textcolor{orange}{1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}}点 {\rm P} が動く！ ⇒ 軌跡！ ⇒ 点 {\rm P}(x,\ y) とおく！
x=\dfrac{3}{\cos\theta},\ y=2\tan\theta とすると\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{\cos\theta},\ \dfrac{y}{2} = \tan\theta
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} より\begin{align*}
1+\tan^2\theta &= \left(\dfrac{1}{\cos\theta}\right)^2\\\\
1+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2 &= \left(\dfrac{x}{3}\right)^2\\\\
1+\dfrac{y^2}{2^2} &= \dfrac{x^2}{3^2}\\\\
1 &= \dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}
\end{align*}よって，点 {\rm P}\left(\dfrac{3}{\cos\theta},\ 2\tan\theta\right) は
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{双曲線\ \dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}=1\ 上を動く。}}}\sin\theta と \cos\theta を含む公式を考えよう！
x=2\cos\theta+1,\ y=2\sin\theta+3 より
\dfrac{x-1}{2} = \cos\theta,\ \dfrac{y-3}{2} = \sin\theta\begin{align*}
\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y-3)^2}{2^2} + \dfrac{(x-1)^2}{2^2} & = 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 2^2 をかける}} &\\
(y-3)^2+(x-1)^2 &= 2^2\\
(x-1)^2+(y-3)^2 &= 2^2\\
\end{align*}これは，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{点\ (1,\ 3)\ を中心とする半径\ 2\ の円を表す。}}}\sin\theta と \cos\theta を含む公式を考えよう！
x=3\cos\theta+2,\ y=3\sin\theta-1 より
\dfrac{x-2}{3} = \cos\theta,\ \dfrac{y+1}{3} = \sin\theta\begin{align*}
\left(\dfrac{y+1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y+1)^2}{3^2} + \dfrac{(x-2)^2}{3^2} & = 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 3^2 をかける}} &\\
(y+1)^2+(x-2)^2 &= 3^2\\
(x-2)^2+(y+1)^2 &= 3^2\\
\end{align*}これは，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{点\ (2,\ -1)\ を中心とする半径\ 3\ の円を表す。}}}\sin\theta と \cos\theta を含む公式を考えよう！
x=3\cos\theta+1,\ y=2\sin\theta+3 より\dfrac{x-1}{3} = \cos\theta,\ \dfrac{y-3}{2} = \sin\theta\begin{align*}
\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y-3)^2}{2^2} + \dfrac{(x-1)^2}{3^2} & = 1\\\\
\dfrac{(x-1)^2}{3^2} + \dfrac{(y-3)^2}{2^2} & = 1
\end{align*}これは，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{楕円\ \dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\ を}}}\\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{x軸方向に 1，y軸方向に3だけ}}}\\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{平行移動した楕円を表す。}}}◁◁◁◁◁◁◁◁◁◁前回
放物線の頂点が描く曲線を求める
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極座標と直交座標を変換する
- 20210602…円と楕円を表す問題を3問追加。問題数5。
- 20210601…初版公開。問題数2。
