媒介変数θを消去して曲線を求める

三角関数の相互関係

  • \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
  • 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

加法定理

  • 角度は \alpha \beta \alpha \beta の順にセット!
  • \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$+$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
  • \sin(\alpha \colorbox{mistyrose}{$-$} \beta) = \sin\alpha\cos\beta \colorbox{mistyrose}{$-$} \cos\alpha\sin\beta
    • \sin・・・符号は一緒
  • \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$+$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$-$} \sin\alpha\sin\beta
  • \cos(\alpha \colorbox{lightcyan}{$-$} \beta) = \cos\alpha\cos\beta \colorbox{lightcyan}{$+$} \cos\alpha\sin\beta
    • \cos・・・符号を変える

2倍角の公式

  • \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha\cos\alpha
  • \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
    \textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 1 -2 \sin^2\alpha
    \textcolor{white}{\cos 2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1\sin^2\alpha
  • \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

Happy Math-ing!

\cos\theta\tan\theta を含む公式を考えよう!

\textcolor{orange}{1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}}

{\rm P} が動く! ⇒ 軌跡! ⇒ 点 {\rm P}(x,\ y) とおく!

x=\dfrac{1}{\cos\theta},\ y=\tan\theta とすると

1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} より

\begin{align*}
1+\tan^2\theta &= \left(\dfrac{1}{\cos\theta}\right)^2\\\\
1+y^2 &= x^2\\
1 &= x^2-y^2
\end{align*}

よって,点 {\rm P}\left(\dfrac{1}{\cos\theta},\ \tan\theta\right)

\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{双曲線\ x^2-y^2=1\ 上を動く。}}}

\cos\theta\tan\theta を含む公式を考えよう!

\textcolor{orange}{1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}}

{\rm P} が動く! ⇒ 軌跡! ⇒ 点 {\rm P}(x,\ y) とおく!

x=\dfrac{3}{\cos\theta},\ y=2\tan\theta とすると

  \dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{\cos\theta},\ \dfrac{y}{2} = \tan\theta 

1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} より

\begin{align*}
1+\tan^2\theta &= \left(\dfrac{1}{\cos\theta}\right)^2\\\\
1+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2 &= \left(\dfrac{x}{3}\right)^2\\\\
1+\dfrac{y^2}{2^2} &= \dfrac{x^2}{3^2}\\\\
1 &= \dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}
\end{align*}

よって,点 {\rm P}\left(\dfrac{3}{\cos\theta},\ 2\tan\theta\right)

\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{双曲線\ \dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}=1\ 上を動く。}}}

\sin\theta\cos\theta を含む公式を考えよう!

x=2\cos\theta+1,\ y=2\sin\theta+3 より

\dfrac{x-1}{2} = \cos\theta,\ \dfrac{y-3}{2} = \sin\theta
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 に代入して

\begin{align*}
\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y-3)^2}{2^2} + \dfrac{(x-1)^2}{2^2} & = 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 2^2 をかける}} &\\
(y-3)^2+(x-1)^2 &= 2^2\\
(x-1)^2+(y-3)^2 &= 2^2\\
\end{align*}

これは,

\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{点\ (1,\ 3)\ を中心とする半径\ 2\ の円を表す。}}}

\sin\theta\cos\theta を含む公式を考えよう!

x=3\cos\theta+2,\ y=3\sin\theta-1 より

\dfrac{x-2}{3} = \cos\theta,\ \dfrac{y+1}{3} = \sin\theta
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 に代入して

\begin{align*}
\left(\dfrac{y+1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y+1)^2}{3^2} + \dfrac{(x-2)^2}{3^2} & = 1\\
\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 3^2 をかける}} &\\
(y+1)^2+(x-2)^2 &= 3^2\\
(x-2)^2+(y+1)^2 &= 3^2\\
\end{align*}

これは,

\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{点\ (2,\ -1)\ を中心とする半径\ 3\ の円を表す。}}}

\sin\theta\cos\theta を含む公式を考えよう!

x=3\cos\theta+1,\ y=2\sin\theta+3 より

\dfrac{x-1}{3} = \cos\theta,\ \dfrac{y-3}{2} = \sin\theta
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 に代入して

\begin{align*}
\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2 &= 1\\\\
\dfrac{(y-3)^2}{2^2} + \dfrac{(x-1)^2}{3^2} & = 1\\\\
\dfrac{(x-1)^2}{3^2} + \dfrac{(y-3)^2}{2^2} & = 1
\end{align*}

これは,

\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{楕円\ \dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\ を}}}\\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{x軸方向に 1,y軸方向に3だけ}}}\\
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{平行移動した楕円を表す。}}}

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放物線の頂点が描く曲線を求める

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極座標と直交座標を変換する
  • 20210602…円と楕円を表す問題を3問追加。問題数5。
  • 20210601…初版公開。問題数2。

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