放物線の頂点が描く曲線を求める
- 放物線の頂点が描く ⇒ 軌跡！ ⇒ 頂点 {\rm P}(x,\ y)
- 放物線の頂点 ⇒ 平方完成
- 媒介変数を消去して曲線の方程式を求める
放物線の頂点 ⇒ 平方完成！
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*}
y &= x^2\colorbox{mistyrose}{$+2t$}x-2t\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (+2t) \times \dfrac12 = +t}}\\
&= (x\colorbox{mistyrose}{$+t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$t^2$}-2t\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(+t)^2を引く}}\\
\end{align*}よって，\textcolor{orange}{{\rm P}(-t,\ -t^2-2t)}
x=-t,\ y=-t^2-2t
これを y=-t^2-2t に代入して
\begin{align*}
y &= -\colorbox{lightcyan}{$(-x)^2$}-2\colorbox{lightcyan}{$(-x)$}\\
&= -x^2+2x
\end{align*}よって，頂点{\rm P} が描く曲線は，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=-x^2+2x}}}放物線の頂点 ⇒ 平方完成！
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*}
y &= \colorbox{lightcyan}{$-x^2+4tx$}+2t\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{x^2の係数で因数分解}}\\
&= -(x^2\colorbox{mistyrose}{$-4t$}x)+2t\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (-4t) \times \dfrac12 = -2t}}\\
&= -\left\{(x\colorbox{mistyrose}{$-2t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$4t^2$}\right\}+2t\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(-2t)^2を引く}}\\
&= -(x-2t)^2+4t^2+2t
\end{align*}よって，\textcolor{orange}{{\rm P}(2t,\ 4t^2+2t)}
x=2t,\ y=4t^2+2t
これを y=4t^2+2t に代入して
\begin{align*}
y &= 4\colorbox{lightcyan}{$\left(\dfrac12x\right)^2$}+2\colorbox{lightcyan}{$\left(\dfrac12x\right)$}\\
&= 4\times\dfrac14x^2+x = x^2+x
\end{align*}よって，頂点{\rm P} が描く曲線は，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=x^2+x}}}放物線の頂点 ⇒ 平方完成！
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*}
y &= \colorbox{lightcyan}{$-x^2+2tx$}+(t-1)^2\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{x^2の係数で因数分解}}\\
&= -(x^2\colorbox{mistyrose}{$-2t$}x)+(t-1)^2\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (-2t) \times \dfrac12 = -t}}\\
&= -\left\{(x\colorbox{mistyrose}{$-t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$t^2$}\right\}+(t-1)^2\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(-t)^2を引く}}\\
&= -(x-t)^2+t^2+t^2-2t+1\\
&= -(x-t)^2+2t^2-2t+1
\end{align*}よって，\textcolor{orange}{{\rm P}(t,\ 2t^2-2t+1)}
x=t,\ y=2t^2-2t+1
これを y=2t^2-2t+1 に代入して
\begin{align*}
y &= 2\colorbox{lightcyan}{$x^2$}-2\colorbox{lightcyan}{$x$}+1
\end{align*}よって，頂点{\rm P} が描く曲線は，
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=2x^2-2x+1}}}- 20210601…初版公開。問題数3。
