放物線の頂点 ⇒ 平方完成!
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*} y &= x^2\colorbox{mistyrose}{$+2t$}x-2t\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (+2t) \times \dfrac12 = +t}}\\ &= (x\colorbox{mistyrose}{$+t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$t^2$}-2t\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(+t)^2を引く}}\\ \end{align*}
よって,\textcolor{orange}{{\rm P}(-t,\ -t^2-2t)}
x=-t,\ y=-t^2-2t
これを y=-t^2-2t に代入して
\begin{align*} y &= -\colorbox{lightcyan}{$(-x)^2$}-2\colorbox{lightcyan}{$(-x)$}\\ &= -x^2+2x \end{align*}
よって,頂点{\rm P} が描く曲線は,
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=-x^2+2x}}}
放物線の頂点 ⇒ 平方完成!
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*} y &= \colorbox{lightcyan}{$-x^2+4tx$}+2t\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{x^2の係数で因数分解}}\\ &= -(x^2\colorbox{mistyrose}{$-4t$}x)+2t\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (-4t) \times \dfrac12 = -2t}}\\ &= -\left\{(x\colorbox{mistyrose}{$-2t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$4t^2$}\right\}+2t\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(-2t)^2を引く}}\\ &= -(x-2t)^2+4t^2+2t \end{align*}
よって,\textcolor{orange}{{\rm P}(2t,\ 4t^2+2t)}
x=2t,\ y=4t^2+2t
これを y=4t^2+2t に代入して
\begin{align*} y &= 4\colorbox{lightcyan}{$\left(\dfrac12x\right)^2$}+2\colorbox{lightcyan}{$\left(\dfrac12x\right)$}\\ &= 4\times\dfrac14x^2+x = x^2+x \end{align*}
よって,頂点{\rm P} が描く曲線は,
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=x^2+x}}}
放物線の頂点 ⇒ 平方完成!
頂点を {\rm P}(x,\ y) とする。
\begin{align*} y &= \colorbox{lightcyan}{$-x^2+2tx$}+(t-1)^2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{x^2の係数で因数分解}}\\ &= -(x^2\colorbox{mistyrose}{$-2t$}x)+(t-1)^2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ x\ の係数 (-2t) \times \dfrac12 = -t}}\\ &= -\left\{(x\colorbox{mistyrose}{$-t$})^2-\colorbox{mistyrose}{$t^2$}\right\}+(t-1)^2\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{(-t)^2を引く}}\\ &= -(x-t)^2+t^2+t^2-2t+1\\ &= -(x-t)^2+2t^2-2t+1 \end{align*}
よって,\textcolor{orange}{{\rm P}(t,\ 2t^2-2t+1)}
x=t,\ y=2t^2-2t+1
これを y=2t^2-2t+1 に代入して
\begin{align*} y &= 2\colorbox{lightcyan}{$x^2$}-2\colorbox{lightcyan}{$x$}+1 \end{align*}
よって,頂点{\rm P} が描く曲線は,
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{放物線\ y=2x^2-2x+1}}}
- 20210601…初版公開。問題数3。