２次曲線に引いた接線の方程式を求める

点 C

(0,\ 3)

から楕円

x^2+2y^2=2

に接線を引くとき，その接線の方程式を求めよ。また，そのときの接点の座標を求めよ。

直線の方程式には２つの形があります。
　 $y=ax+b$ （ $x$ 軸に垂直ではない）
　　または
　 $x=a$ （ $x$ 軸に垂直）　
　

点 C $(0,\ 3)$ を通り， $x$ 軸に垂直な直線は $x=0$ （ $y$ 軸）です。これは明らかに楕円と２点で交わるため使えません。

よって，傾きを $m$ とすれば点 $(0,\ 3)$ を通るから

$y-3=m(x-0)$ となります。

点 C を通る接線は， $x$ 軸に垂直ではないから，その方程式は $y=mx+3$ とおくことができる。

楕円 $x^2+2y^2=2$ と直線 $y=mx+3$ が接する！

これを楕円の式 $\textcolor{orange}{x^2+2y^2=2}$ に代入すると

\begin{align*} x^2+2(mx+3)^2 &= 2\\ x^2+2(m^2x^2+6mx+9) &= 2\\ x^2+2m^2x^2+12mx+18-2 &= 0\\ (2m^2+1)x^2+12mx+16 &= 0 \end{align*}

この $x$ の２次方程式の判別式を $D$ とすると

\begin{align*} & \textcolor{orange}{\small\phase{　D=b^2-4ac}}\\ D &= (12m)^2 -4 \cdot (2m^2+1) \cdot 16\\ &= 144m^2-64(2m^2+1)\\ &= 144m^2-128m^2-64\\ &= 16m^2-64\\ &= 16(m^2-4)\\ &=16(m+2)(m-2)\\\\ & \textcolor{orange}{\small\phase{　b'=\frac{b}{2} とすると，\frac{D}{4}=b'^2-ac}}\\ \textcolor{orange}{\dfrac{D}{4}} &\textcolor{orange}{=(6m)^2-(2m^2+1) \cdot 16}\\ &\textcolor{orange}{=36m^2-32m^2-16}\\ &\textcolor{orange}{=4m^2-16}\\ &\textcolor{orange}{=4(m^2-4)}\\ &\textcolor{orange}{=4(m+2)(m-2)} \end{align*}

直線が楕円に接するのは $D=0$ のときであるから

\begin{align*} 16(m+2)(m-2) &= 0\\ m &= \pm 2 \end{align*}

接点の $x$ 座標は，

(2m^2+1)x^2+12mx+16 = 0

を解けばいいから

x = \dfrac{-12m \textcolor{orange}{\pm\sqrt{D=0}}}{2 \cdot (2m^2+1)} = \dfrac{-6m}{2m^2+1}

$m=2$ のとき，

接線の方程式は $\textcolor{orange}{y=mx+3 であるから}$ ，

y=2x+3

接点は

\begin{align*} x & =\dfrac{-6m}{2m^2+1} = \dfrac{-6 \cdot 2}{2 \cdot 2^2+1} = \dfrac{-12}{9} = -\dfrac{4}{3}\\\\ y & =2 \cdot 2+3=7 \end{align*}

m=2 のとき\ \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\ 接線\ y=2x+3,\ 接点\ \left(-\dfrac43,\ 7\right)}}}

$m=-2$ のとき，

接線の方程式は $\textcolor{orange}{y=mx+3 であるから}$ ，

y=-2x+3

接点は

\begin{align*} x & =\dfrac{-6m}{2m^2+1} = \dfrac{-6 \cdot (-2)}{2 \cdot (-2)^2+1} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\\\\ y & =2 \cdot (-2)+3=-1 \end{align*}

m=-2 のとき\ \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\ 接線\ y=-2x+3,\ 接点\ \left(\dfrac43,\ -1\right)}}}

点 C

(-3,\ 0)

から楕円

2x^2+y^2=6

に接線を引くとき，その接線の方程式を求めよ。また，そのときの接点の座標を求めよ。

直線の方程式には２つの形があります。
　 $y=ax+b$ （ $x$ 軸に垂直ではない）
　　または
　 $x=a$ （ $x$ 軸に垂直）　
　

点 C $(-3,\ 0)$ を通り， $x$ 軸に垂直な直線は $x=-3$ です。これは明らかに楕円と交わりません。

よって，傾きを $m$ とすれば点 $(-3,\ 0)$ を通るから

$y-0=m(x+3)$ となります。

点 C を通る接線は， $x$ 軸に垂直ではないから，その方程式は $y=m(x+3)$ とおくことができる。

楕円 $2x^2+y^2=6$ と直線 $y=m(x+3)$ が接する！

これを楕円の式 $\textcolor{orange}{2x^2+y^2=6}$ に代入すると

\begin{align*} 2x^2+\left\{m(x+3)\right\}^2 &= 6\\ 2x^2+m^2(x+3)^2 &= 6\\ 2x^2+m^2(x^2+6x+9) &= 6\\ 2x^2+m^2x^2+6m^2x+9m^2-6 &= 0\\ (m^2+2)x^2+6m^2x+(9m^2-6) &= 0 \end{align*}

この $x$ の２次方程式の判別式を $D$ とすると

\begin{align*} & \textcolor{orange}{\small\phase{　D=b^2-4ac}}\\ D &= (6m^2)^2 -4 \cdot (m^2+2) \cdot (9m^2-6)\\ &= 36m^4-4(9m^4-6m^2+18m^2-12)\\ &= 36m^4-36m^4+24m^2-72m^2+48\\ &= -48m^2+48\\ &= -48(m^2-1)\\ &=-48(m+1)(m-1)\\\\ & \textcolor{orange}{\small\phase{　b'=\frac{b}{2} とすると，\frac{D}{4}=b'^2-ac}}\\ \textcolor{orange}{\dfrac{D}{4}} &\textcolor{orange}{=(3m)^2-(m^2+2) \cdot (9m^2-6)}\\ &\textcolor{orange}{=9m^4-(9m^4-6m^2+18m^2-12)}\\ &= \textcolor{orange}{9m^4-9m^4+6m^2-18m^2+12}\\ &\textcolor{orange}{=-12m^2+12}\\ &\textcolor{orange}{=-12(m^2-1)}\\ &\textcolor{orange}{=-12(m+1)(m-1)} \end{align*}

直線が楕円に接するのは $D=0$ のときであるから

\begin{align*} -48(m+1)(m-1) &= 0\\ m &= \pm 1 \end{align*}

接点の $x$ 座標は，

(m^2+2)x^2+6m^2x+(9m^2-6) = 0

を解けばいいから

x = \dfrac{-6m^2 \textcolor{orange}{\pm\sqrt{D=0}}}{2 \cdot (m^2+2)} = \dfrac{-3m^2}{m^2+2}

$m=1$ のとき，

接線の方程式は $\textcolor{orange}{y=m(x+3) であるから}$ ，

y=x+3

接点は

\begin{align*} x & =\dfrac{-3m^2}{m^2+2} = \dfrac{-3 \cdot 1^2}{1^2+2} = \dfrac{-3}{3} = -1\\\\ y & =-1+3=2 \end{align*}

m=1 のとき\ \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\ 接線\ y=x+3,\ 接点\ \left(-1,\ 2\right)}}}

$m=-1$ のとき，

接線の方程式は $\textcolor{orange}{y=m(x+3) であるから}$ ，

y=-x-3

接点は

\begin{align*} x & =\dfrac{-3m^2}{m^2+2} = \dfrac{-3 \cdot (-1)^2}{(-1)^2+2} = \dfrac{-3}{3} = -1\\\\ y & =-(-1)-3=-2 \end{align*}

m=-1 のとき\ \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\ 接線\ y=-x-3,\ 接点\ \left(-1,\ -2\right)}}}