- 連立して１文字消去します。
- 連立して１文字消去、判別式 D を求めます。
- D>0 ・・・２個
- D=0 ・・・１個
- D<0 ・・・０個
共有点 ⇒ 連立して 1 文字消去
x^2+4y^2=20・・・①y=x+k・・・②
②を①に代入して整理すると
\begin{align*}
x^2+4(x+k)^2 &= 20\\
x^2+4(x^2+2kx+k^2) &= 20\\
x^2+4x^2+8kx+4k^2 &= 20\\
5x^2+8kx+4k^2-20 &= 0・・・③
\end{align*}共有点の個数 ⇒ 連立して判別式 D を調べる
x の２次方程式③の判別式を D とすると D=b^2-4ac\begin{align*}
D &= (8k)^2-4 \cdot 5 \cdot (4k^2-20)\\
&= 64k^2-80k^2+400\\
&= -16k^2+400\\
&= -16(k^2-25)\\
&= -16(k+5)(k-5)\\
\\
\textcolor{orange}{または \dfrac{D}{4}} & \textcolor{orange}{= (4k)^2-5 \cdot (4k^2-20)}\\
& \textcolor{orange}{= 16k^2-20k^2+100}\\
& \textcolor{orange}{=-4k^2+100}\\
& \textcolor{orange}{=-4(k^2-25)}\\
& \textcolor{orange}{=-4(k+5)(k-5)}\\
\end{align*}よって，楕円①と直線②の共有点の個数は，次のようになる。
D>0 すなわち\begin{align*}
-16(k+5)(k-5) &> 0\\
(k+5)(k-5) &< 0\\
\textcolor{orange}{(k+5)(k-5)} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\
\textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -5,\ 5 であるから}
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-5 < k < 5\ のとき，2個}}}\begin{align*}
-16(k+5)(k-5) &= 0\\
(k+5)(k-5) &= 0\\
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k = -5,\ 5\ のとき，1個}}}\begin{align*}
-16(k+5)(k-5) &< 0\\
(k+5)(k-5) &> 0\\
\textcolor{orange}{(k+5)(k-5)} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\
\textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -5,\ 5 であるから}
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k < -5,\ 5 < k\ のとき，0個}}}共有点 ⇒ 連立して 1 文字消去
x^2-2y^2=4・・・①y=x+k・・・②
②を①に代入して整理すると
\begin{align*}
x^2-2(x+k)^2 &= 4\\
x^2-2(x^2+2kx+k^2) &= 4\\
x^2-2x^2-4kx-2k^2 &= 4\\
-x^2-4kx-2k^2-4 &= 0\\
x^2+4kx+2k^2+4 &= 0・・・③
\end{align*}共有点の個数 ⇒ 連立して判別式 D を調べる
x の２次方程式③の判別式を D とすると D=b^2-4ac\begin{align*}
D &= (4k)^2-4 \cdot 1 \cdot (2k^2+4)\\
&= 16k^2-8k^2-16\\
&= 8k^2-16\\
&= 8(k^2-2)\\
&= 8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})\\
\\
\textcolor{orange}{または \dfrac{D}{4}} & \textcolor{orange}{= (2k)^2-1 \cdot (2k^2+4)}\\
& \textcolor{orange}{= 4k^2-2k^2-4}\\
& \textcolor{orange}{=2k^2-4}\\
& \textcolor{orange}{=2(k^2-2)}\\
& \textcolor{orange}{=2(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})}\\
\end{align*}よって，楕円①と直線②の共有点の個数は，次のようになる。
D>0 すなわち\begin{align*}
8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &> 0\\
(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &> 0\\
\textcolor{orange}{(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\
\textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -\sqrt{2},\ \sqrt{2} であるから}
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k < -\sqrt{2},\ \sqrt{2} < k\ のとき，2個}}}\begin{align*}
8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &= 0\\
(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &= 0\\
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k = -\sqrt{2},\ \sqrt{2}\ のとき，1個}}}\begin{align*}
8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &< 0\\
(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &< 0\\
\textcolor{orange}{(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\
\textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -\sqrt{2},\ \sqrt{2} であるから}
\end{align*}\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}\ のとき，2個}}}- 20210513…初版公開。問題数(2)
