- 連立して1文字消去します。
- 連立して1文字消去、判別式 D を求めます。
- D>0 ・・・2個
- D=0 ・・・1個
- D<0 ・・・0個
共有点 ⇒ 連立して 1 文字消去
x^2+4y^2=20・・・①y=x+k・・・②
②を①に代入して整理すると
\begin{align*} x^2+4(x+k)^2 &= 20\\ x^2+4(x^2+2kx+k^2) &= 20\\ x^2+4x^2+8kx+4k^2 &= 20\\ 5x^2+8kx+4k^2-20 &= 0・・・③ \end{align*}
共有点の個数 ⇒ 連立して判別式 D を調べる
x の2次方程式③の判別式を D とすると D=b^2-4ac\begin{align*} D &= (8k)^2-4 \cdot 5 \cdot (4k^2-20)\\ &= 64k^2-80k^2+400\\ &= -16k^2+400\\ &= -16(k^2-25)\\ &= -16(k+5)(k-5)\\ \\ \textcolor{orange}{または \dfrac{D}{4}} & \textcolor{orange}{= (4k)^2-5 \cdot (4k^2-20)}\\ & \textcolor{orange}{= 16k^2-20k^2+100}\\ & \textcolor{orange}{=-4k^2+100}\\ & \textcolor{orange}{=-4(k^2-25)}\\ & \textcolor{orange}{=-4(k+5)(k-5)}\\ \end{align*}
よって,楕円①と直線②の共有点の個数は,次のようになる。
D>0 すなわち\begin{align*} -16(k+5)(k-5) &> 0\\ (k+5)(k-5) &< 0\\ \textcolor{orange}{(k+5)(k-5)} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\ \textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -5,\ 5 であるから} \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-5 < k < 5\ のとき,2個}}}
\begin{align*} -16(k+5)(k-5) &= 0\\ (k+5)(k-5) &= 0\\ \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k = -5,\ 5\ のとき,1個}}}
\begin{align*} -16(k+5)(k-5) &< 0\\ (k+5)(k-5) &> 0\\ \textcolor{orange}{(k+5)(k-5)} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\ \textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -5,\ 5 であるから} \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k < -5,\ 5 < k\ のとき,0個}}}
共有点 ⇒ 連立して 1 文字消去
x^2-2y^2=4・・・①y=x+k・・・②
②を①に代入して整理すると
\begin{align*} x^2-2(x+k)^2 &= 4\\ x^2-2(x^2+2kx+k^2) &= 4\\ x^2-2x^2-4kx-2k^2 &= 4\\ -x^2-4kx-2k^2-4 &= 0\\ x^2+4kx+2k^2+4 &= 0・・・③ \end{align*}
共有点の個数 ⇒ 連立して判別式 D を調べる
x の2次方程式③の判別式を D とすると D=b^2-4ac\begin{align*} D &= (4k)^2-4 \cdot 1 \cdot (2k^2+4)\\ &= 16k^2-8k^2-16\\ &= 8k^2-16\\ &= 8(k^2-2)\\ &= 8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})\\ \\ \textcolor{orange}{または \dfrac{D}{4}} & \textcolor{orange}{= (2k)^2-1 \cdot (2k^2+4)}\\ & \textcolor{orange}{= 4k^2-2k^2-4}\\ & \textcolor{orange}{=2k^2-4}\\ & \textcolor{orange}{=2(k^2-2)}\\ & \textcolor{orange}{=2(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})}\\ \end{align*}
よって,楕円①と直線②の共有点の個数は,次のようになる。
D>0 すなわち\begin{align*} 8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &> 0\\ (k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &> 0\\ \textcolor{orange}{(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\ \textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -\sqrt{2},\ \sqrt{2} であるから} \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k < -\sqrt{2},\ \sqrt{2} < k\ のとき,2個}}}
\begin{align*} 8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &= 0\\ (k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &= 0\\ \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{k = -\sqrt{2},\ \sqrt{2}\ のとき,1個}}}
\begin{align*} 8(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &< 0\\ (k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2}) &< 0\\ \textcolor{orange}{(k+\sqrt{2})(k-\sqrt{2})} & \textcolor{orange}{= 0 を解くと}\\ \textcolor{orange}{k} & \textcolor{orange}{= -\sqrt{2},\ \sqrt{2} であるから} \end{align*}
\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}\ のとき,2個}}}
- 20210513…初版公開。問題数(2)