方程式を平方完成して2次曲線の標準形になおす

練習問題にチャレンジ!

btakeshi
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次の方程式はどのような図形を表すか。

btakeshi
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  • x,\ y で整理する
  • x,\ y それぞれ平方完成する
  • 2次曲線の見分け方
    • 2乗が片方だけ ⇒ 放物線
    • 2乗+2乗 ⇒ 楕円
    • 2乗ー2乗 ⇒ 双曲線

この方程式を変形すると x,\ y で整理

\begin{align*}
x^2+2x-4y^2+16y &= 19\\
(x^2+2x)-4(y^2-4y) &= 19
\end{align*}

x,\ y それぞれ平方完成

\begin{align*}
(x+1)^2-1^2 -4\left\{(y-2)^2-2^2\right\} &= 19\\
(x+1)^2-1-4(y-2)^2+16 &= 19\\
(x+1)^2-4(y-2)^2 &= 19+1-16\\
(x+1)^2-4(y-2)^2 &= 4
\end{align*}

すなわち =1にするために両辺を4で割る

\dfrac{(x+1)^2}{4} - (y-2)^2 = 1

よって,この方程式は,

双曲線 \dfrac{x^2}{4}-y^2=1 を 2乗ー2乗⇒双曲線

x 軸方向に -1x(x+1)

y 軸方向に 2だけ y(y-2)

平行移動した双曲線を表す。

btakeshi
btakeshi
  • x,\ y で整理する
  • x,\ y それぞれ平方完成する
  • 2次曲線の見分け方
    • 2乗が片方だけ ⇒ 放物線
    • 2乗+2乗 ⇒ 楕円
    • 2乗ー2乗 ⇒ 双曲線

この方程式を変形すると x,\ y で整理

\begin{align*}
x^2+6x+4y^2-8y &= -9\\
(x^2+6x)+4(y^2-2y) &= -9
\end{align*}

x,\ y それぞれ平方完成

\begin{align*}
(x+3)^2-3^2 +4\left\{(y-1)^2-1^2\right\} &= -9\\
(x+3)^2-9+4(y-1)^2-4 &= -9\\
(x+3)^2+4(y-1)^2 &= -9+9+4\\
(x+3)^2+4(y-1)^2 &= 4
\end{align*}

すなわち =1にするために両辺を4で割る

\dfrac{(x+3)^2}{4} + (y-1)^2 = 1

よって,この方程式は,

楕円 \dfrac{x^2}{4}+y^2=1 を 2乗+2乗⇒楕円

x 軸方向に -3x(x+3)

y 軸方向に 1だけ y(y-1)

平行移動した楕円を表す。

btakeshi
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  • x,\ y で整理する
  • x,\ y それぞれ平方完成する
  • 2次曲線の見分け方
    • 2乗が片方だけ ⇒ 放物線
    • 2乗+2乗 ⇒ 楕円
    • 2乗ー2乗 ⇒ 双曲線

この方程式を変形すると x,\ y で整理

\begin{align*}
y^2+8y &= 16x
\end{align*}

x,\ y それぞれ平方完成

\begin{align*}
(y+4)^2-4^2 &= 16x\\
(y+4)^2-16 &= 16x\\
(y+4)^2 &= 16x+16\\
(y+4)^2 &= 16(x+1)
\end{align*}

よって,この方程式は,

放物線 y^2=16x を 2乗が片方だけ⇒放物線

x 軸方向に -1x(x+1)

y 軸方向に -4だけ y(y+4)

平行移動した放物線を表す。

btakeshi
btakeshi
  • x,\ y で整理する
  • x,\ y それぞれ平方完成する
  • 2次曲線の見分け方
    • 2乗が片方だけ ⇒ 放物線
    • 2乗+2乗 ⇒ 楕円
    • 2乗ー2乗 ⇒ 双曲線

この方程式を変形すると x,\ y で整理

\begin{align*}
4x^2-9y^2-16x-36y-56 &= 0\\
4x^2-16x-9y^2-36y &= 56\\
4(x^2-4x)-9(y^2+4y) &= 56
\end{align*}

x,\ y それぞれ平方完成

\begin{align*}
4\left\{(x-2)^2-2^2\right\}-9\left\{(y+2)^2-2^2\right\} &= 56\\
4(x-2)^2-16-9(y+2)^2+36 &= 56\\
4(x-2)^2-9(y+2)^2 &= 56+16-36\\
4(x-2)^2-9(y+2)^2 &= 36
\end{align*}

すなわち =1にするために両辺を36で割る

\dfrac{(x-2)^2}{9} - \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1

よって,この方程式は,

双曲線 \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1 を 2乗ー2乗⇒双曲線

x 軸方向に 2x(x-2)

y 軸方向に -2だけ y(y+2)

平行移動した双曲線を表す。

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