２次曲線を平行移動する

2021年5月11日

（２次曲線を）平行移動する

x 軸方向に p だけ
- $x$ を $(x-p)$ に
y 軸方向に q だけ
- $y$ を $(y-q)$ に

$-p$ ， $-q$ は符号を逆にする

練習問題にチャレンジ！

btakeshi

次の２次曲線を平行移動しなさい。

楕円

\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1

を，

x

軸方向に

2

，

y

軸方向に

1

だけ平行移動するとき，移動後の楕円の方程式と焦点の座標を求めよ。

btakeshi

２次曲線を平行移動

x 軸方向に p だけ
- $x$ を $(x-p)$ に
y 軸方向に q だけ
- $y$ を $(y-q)$ に

$-p$ ， $-q$ は符号を逆にする

x

軸方向に

2

，⇒

x

を

(x-2)

に

y

軸方向に

1

　 ⇒

y

を

(y-1)

に

だけ平行移動した楕円の方程式は，次のようになる。

\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1

また，楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ の焦点は

\sqrt{9-4}=\sqrt{5}

より　ルートの中をマイナスにしない

(\sqrt{5},\ 0),\ (-\sqrt{5},\ 0)

であるから，

y^2

の分母が小さいから

y=0

楕円②の焦点は

(\sqrt{5}+2,\ 1),\ (-\sqrt{5}+2,\ 1)

楕円

\dfrac{x^2}{4}+y^2=1

を，

x

軸方向に

3

，

y

軸方向に

-2

だけ平行移動するとき，移動後の楕円の方程式と焦点の座標を求めよ。

btakeshi

２次曲線を平行移動

x 軸方向に p だけ
- $x$ を $(x-p)$ に
y 軸方向に q だけ
- $y$ を $(y-q)$ に

$-p$ ， $-q$ は符号を逆にする

x

軸方向に

3

，⇒

x

を

(x-3)

に

y

軸方向に

-2

　 ⇒

y

を

(y+2)

に

だけ平行移動した楕円の方程式は，次のようになる。

\dfrac{(x-3)^2}{4}+(y+2)^2=1

また，楕円 $\dfrac{x^2}{4}+\textcolor{orange}{\dfrac{\textcolor{black}{y^2}}{1}}=1$ の焦点は

\sqrt{4-1}=\sqrt{3}

より　ルートの中をマイナスにしない

(\sqrt{3},\ 0),\ (-\sqrt{3},\ 0)

であるから，

y^2

の分母が小さいから

y=0

楕円②の焦点は

(\sqrt{3}+3,\ -2),\ (-\sqrt{3}+3,\ -2)

放物線

y^2=4x

を，

x

軸方向に

-1

，

y

軸方向に

2

だけ平行移動するとき，移動後の放物線の方程式と焦点の座標を求めよ。

btakeshi

２次曲線を平行移動

x 軸方向に p だけ
- $x$ を $(x-p)$ に
y 軸方向に q だけ
- $y$ を $(y-q)$ に

$-p$ ， $-q$ は符号を逆にする

x

軸方向に

-1

，⇒

x

を

(x+1)

に

y

軸方向に

2

　 ⇒

y

を

(y-2)

に

だけ平行移動した楕円の方程式は，次のようになる。

(y-2)^2=4(x+1)

また，放物線 $y^2=4x \textcolor{orange}{= 4 \times 1 \times x}$ の焦点は

(1,\ 0)

であるから，

y^2

だから

y=0

求める放物線の焦点は

\textcolor{orange}{(1-1,\ 0+2)=}(0,\ 2)

練習問題にチャレンジ！

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