双曲線の方程式から，焦点・頂点・漸近線を求める

【パターンＡ】焦点が

x

軸上にある双曲線

\dfrac{x^2}{\textcolor{blue}{a^2}}-\dfrac{y^2}{b^2}\textcolor{red}{=1}

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$
焦点 (\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0})
- 分母を足してルート（順序は無視）
頂点 $(\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{red}{0})$
漸近線 $y=\dfrac{b}{a}x,\ y=-\dfrac{b}{a}x$

【パターンＢ】焦点が

y

軸上にある双曲線

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{\textcolor{blue}{b^2}}\textcolor{red}{=-1}

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$
焦点 (\textcolor{red}{0},\ \sqrt{a^2+b^2}),\ (\textcolor{red}{0},\ -\sqrt{a^2+b^2})
- 分母を足してルート（順序は無視）
頂点 $(\textcolor{red}{0},\ \textcolor{blue}{b}),\ (\textcolor{red}{0},\ -\textcolor{blue}{b})$
漸近線 $y=\dfrac{b}{a}x,\ y=-\dfrac{b}{a}x$

練習問題にチャレンジ！

btakeshi

次の双曲線の焦点，頂点，漸近線を求めよ。

\dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}=1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= 1}

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0})$
頂点 $(a,\ \textcolor{red}{0}),\ (-a,\ \textcolor{red}{0})$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

より

２点 $(\sqrt{13},\ 0),\ (-\sqrt{13},\ 0)$

頂点は２点 $(3,\ 0),\ (-3,\ 0)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac23x,\ y=-\dfrac23x$

\dfrac{x^2}{5^2}-\dfrac{y^2}{4^2}=1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= 1}

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0})$
頂点 $(a,\ \textcolor{red}{0}),\ (-a,\ \textcolor{red}{0})$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}

より

２点 $(\sqrt{41},\ 0),\ (-\sqrt{41},\ 0)$

頂点は２点 $(5,\ 0),\ (-5,\ 0)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac45x,\ y=-\dfrac45x$

x^2-\dfrac{y^2}{4}=1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= 1}

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0})$
頂点 $(a,\ \textcolor{red}{0}),\ (-a,\ \textcolor{red}{0})$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

x^2-\dfrac{y^2}{4}=1

より

\dfrac{x^2}{1^2}-\dfrac{y^2}{2^2}=1

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

より

２点 $(\sqrt{5},\ 0),\ (-\sqrt{5},\ 0)$

頂点は２点 $(1,\ 0),\ (-1,\ 0)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=2x,\ y=-2x$

x^2-9y^2=9

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= 1}

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0}),\ (-\sqrt{a^2+b^2},\ \textcolor{red}{0})$
頂点 $(a,\ 0),\ (-a,\ 0)$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

x^2-9y^2=9

より

\dfrac{x^2}{9}-y^2=1

すなわち　 $\dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{1^2}=1$

右辺が１だから焦点・頂点の $y$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}

より

２点 $(\sqrt{10},\ 0),\ (-\sqrt{10},\ 0)$

頂点は２点 $(3,\ 0),\ (-3,\ 0)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac13x,\ y=-\dfrac13x$

\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=-1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= -1}

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\textcolor{red}{0},\ \sqrt{a^2+b^2}),\ (\textcolor{red}{0},\ -\sqrt{a^2+b^2})$
頂点 $(\textcolor{red}{0},\ b),\ (\textcolor{red}{0},\ -b)$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

より

２点 $(0,\ 5),\ (0,\ -5)$

頂点は２点 $(0,\ 3),\ (0,\ -3)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac34x,\ y=-\dfrac34x$

\dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{2^2}=-1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \textcolor{red}{= -1}

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\textcolor{red}{0},\ \sqrt{a^2+b^2}),\ (\textcolor{red}{0},\ -\sqrt{a^2+b^2})$
頂点 $(\textcolor{red}{0},\ b),\ (\textcolor{red}{0},\ -b)$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

より

２点 $(0,\ \sqrt{13}),\ (0,\ -\sqrt{13})$

頂点は２点 $(0,\ 2),\ (0,\ -2)$ 　

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac23x,\ y=-\dfrac23x$

\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{25}=-1

btakeshi

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$
焦点の準備 ⇒ \sqrt{a^2+b^2} を計算
- 分母を足してルート（順序は無視）
- 焦点 $(\textcolor{red}{0},\ \sqrt{a^2+b^2}),\ (\textcolor{red}{0},\ -\sqrt{a^2+b^2})$
頂点 $(\textcolor{red}{0},\ b),\ (\textcolor{red}{0},\ -b)$
漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{25}=-1

より

\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{5^2}=-1

右辺がー１だから焦点・頂点の $x$ 座標が $0$

焦点は，分母を足してルート（順序は無視）

\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}

より

２点 $(0,\ \sqrt{41}),\ (0,\ -\sqrt{41})$

頂点は２点 $(0,\ 5),\ (0,\ -5)$

漸近線は　 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

２直線 $y=\dfrac54x,\ y=-\dfrac54x$

練習問題にチャレンジ！

コメントを残す コメントをキャンセル

コメントを残すコメントをキャンセル