点の軌跡が楕円になる

座標平面上において,長さが 5 の線分 AB の端点 A は x 軸上を,端点 B は y 軸上を動くとき,線分 AB を 2:3 に内分する点 P の軌跡を求めよ。

2点 A (x_1,\ y_1),B (x_2,\ y_2) を結ぶ線分ABの長さが 5

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = 5

x 軸上の点は y 座標が 0

点 A の座標を (s,\ 0) とする。

y 軸上の点は x 座標が 0

点 B の座標を (0,\ t) とする。

2点 A (x_1,\ y_1),B (x_2,\ y_2) を結ぶ線分 AB を m:n に内分する点

\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)

点 P の軌跡

点 P の座標を (x,\ y) とする。他の文字は消去する。

軌跡の問題は最後に逆を確認する

逆に,この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は,条件を満たす。

例題を見てみよう!

btakeshi
btakeshi

それでは例題を見ていきましょう。問題文から読み取った内容をもとに,解答の流れを作っていくことが大切です。

「A は x 軸上」y 座標が 0 

登場人物である点たちから決めていきます。

点 A の座標を (s,\ 0)

「B は y 軸上」x 座標が 0 

点 B の座標を (0,\ t) とすると,

「長さが 5 の線分AB」

A, B が決まったので線分ABに触れておきます。

AB =5 であるから

AB=\sqrt{(0-s)^2+(t-0)^2} = 5

両辺を2乗して s^2+t^2=25 ・・・①

「点 P の軌跡を求めよ」

今回の主役である点 P を決めます。

点 P の座標を (x,\ y) とすると,

「線分 AB を 2:3 に内分する点 P」

P は線分 AB を 2:3 に内分するから

x = \dfrac{3 \cdot s + 2 \cdot 0}{2+3} = \dfrac35s 

y = \dfrac{3 \cdot 0 + 2 \cdot t}{2+3} = \dfrac25t
点 P の軌跡・・・ s,\ t を消去する

すなわち s=\dfrac53x,\ t=\dfrac52y

これらを①に代入すると

\left(\dfrac53x\right)^2+\left(\dfrac52y\right)^2=5^2 

\dfrac{5^2x^2}{3^2}+\dfrac{5^2y^2}{2^2}=5^2

両辺を 5^2 で割ると \dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{2^2}=1

よって,点 P は楕円 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 上にある。

軌跡の定番・・・逆とまとめ

逆に,この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は,条件を満たす。

したがって,求める軌跡は,

楕円 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 である。

  • 2021.05.08 … 初版公開。問題数(1)。さっそく授業で間違いを指摘してもらったので修正済。

登場人物である点たちを定義していきます。

点 A の座標を (s,\ 0)点 A は x 上の点 ⇒ y 座標が 0

点 B の座標を (0,\ t) とすると,点 Bは x 上の点 ⇒ y 座標が 0

点 A, B を決めたので線分 AB が作れる!

AB=7 から

\begin{align*}
(0-s)^2 + (t-0)^2 &= 7^2\\
s^2+t^2 &= 7^2 ・・・①
\end{align*}

今回の主人公 P を決めていきます。P の軌跡だから

点 P の座標を (x,\ y) とすると,P は線分 AB を 3:4 に内分するから

x = \dfrac{4 \cdot s + 3 \cdot 0}{3+4} = \dfrac47 s
y = \dfrac{4 \cdot 0 + 3 \cdot t}{3+4} = \dfrac37 t

主役の x,\ y 以外は消去

すなわち s = \dfrac74 x,\ t = \dfrac73 y

これらを①に代入すると

\begin{align*}
\left(\dfrac74x\right)^2 + \left(\dfrac73y\right)^2 &= 7^2\\
\dfrac{7^2x^2}{4^2} + \dfrac{7^2y^2}{3^2} &= 7^2\\
\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{3^2} &= 1
\end{align*}

よって,点 P は楕円 \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 上にある。

軌跡の問題のお決まりパターン。逆とまとめ。

逆に,この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は,条件を満たす。

したがって,求める軌跡は,

楕円\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4} = 1 である。

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