座標平面上において，長さが 5 の線分 AB の端点 A は x 軸上を，端点 B は y 軸上を動くとき，線分 AB を 2:3 に内分する点 P の軌跡を求めよ。
２点 A (x_1,\ y_1)，B (x_2,\ y_2) を結ぶ線分ABの長さが 5
AB＝\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = 5
x 軸上の点は y 座標が 0
点 A の座標を (s,\ 0) とする。
y 軸上の点は x 座標が 0
点 B の座標を (0,\ t) とする。
２点 A (x_1,\ y_1)，B (x_2,\ y_2) を結ぶ線分 AB を m:n に内分する点
\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)点 P の軌跡
点 P の座標を (x,\ y) とする。他の文字は消去する。
軌跡の問題は，最後に逆を確認する
逆に，この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は，条件を満たす。
例題を見てみよう！
それでは例題を見ていきましょう。問題文から読み取った内容をもとに，解答の流れを作っていくことが大切です。
登場人物である点たちから決めていきます。
点 A の座標を (s,\ 0)，
点 B の座標を (0,\ t) とすると，
A, B が決まったので線分ABに触れておきます。
AB =5 であるから
AB＝\sqrt{(0-s)^2+(t-0)^2} = 5
両辺を２乗して s^2+t^2=25 ・・・①
今回の主役である点 P を決めます。
点 P の座標を (x,\ y) とすると，
P は線分 AB を 2:3 に内分するから
x = \dfrac{3 \cdot s + 2 \cdot 0}{2+3} = \dfrac35s y = \dfrac{3 \cdot 0 + 2 \cdot t}{2+3} = \dfrac25tすなわち s=\dfrac53x,\ t=\dfrac52y
これらを①に代入すると
\left(\dfrac53x\right)^2+\left(\dfrac52y\right)^2=5^2 \dfrac{5^2x^2}{3^2}+\dfrac{5^2y^2}{2^2}=5^2両辺を 5^2 で割ると \dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{2^2}=1
よって，点 P は楕円 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 上にある。
逆に，この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は，条件を満たす。
したがって，求める軌跡は，
楕円 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 である。
- 2021.05.08 … 初版公開。問題数(1)。さっそく授業で間違いを指摘してもらったので修正済。
登場人物である点たちを定義していきます。
点 A の座標を (s,\ 0)，点 A は x 上の点 ⇒ y 座標が 0
点 B の座標を (0,\ t) とすると，点 Bは x 上の点 ⇒ y 座標が 0
点 A, B を決めたので線分 AB が作れる！
AB＝7 から
\begin{align*}
(0-s)^2 + (t-0)^2 &= 7^2\\
s^2+t^2 &= 7^2 ・・・①
\end{align*}今回の主人公 P を決めていきます。P の軌跡だから
点 P の座標を (x,\ y) とすると，P は線分 AB を 3:4 に内分するから
x = \dfrac{4 \cdot s + 3 \cdot 0}{3+4} = \dfrac47 sy = \dfrac{4 \cdot 0 + 3 \cdot t}{3+4} = \dfrac37 t主役の x,\ y 以外は消去
すなわち s = \dfrac74 x,\ t = \dfrac73 y
これらを①に代入すると
\begin{align*}
\left(\dfrac74x\right)^2 + \left(\dfrac73y\right)^2 &= 7^2\\
\dfrac{7^2x^2}{4^2} + \dfrac{7^2y^2}{3^2} &= 7^2\\
\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{3^2} &= 1
\end{align*}よって，点 P は楕円 \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 上にある。
軌跡の問題のお決まりパターン。逆とまとめ。
逆に，この楕円上のすべての点 P (x,\ y) は，条件を満たす。
したがって，求める軌跡は，
楕円\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4} = 1 である。
