btakeshi
楕円は，円を縮小または拡大して得られる曲線です。いや逆でしょうか。円は，楕円を縮小または拡大して得られる特別な曲線です。正方形が長方形の特別な場合であることと同じです。さらに拡大・縮小の考え方は，円や楕円に限らず使えます。
Happy Math-ing!!
円上に点Q(s,\ t)をとります。
点Q(s,\ t)は円上にあるから グラフ上にある ⇒ 代入！
s^2+t^2=4^2 ・・・①Q(s,\ t) が移る点をP(x,\ y) とします。
x 軸方向はそのまま，y 軸方向に \dfrac34 倍するから
x=s，y=\dfrac34t ・・・②
s,\ t を消去します。
P(x,\ y) の動きを追いたいから，Q(s,\ t) を消去します。
②より s = x，t = \dfrac43y ・・・③
③を①に代入すると x^2 + \left(\dfrac43y\right)^2=4^2
展開して x^2+\dfrac{4^2y^2}{3^2} = 4^2
両辺を4^2で割って \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9} = 1
気づいた？
円の方程式 y を \dfrac43y にする？
- y 軸方向に a 倍 ⇒ y を \dfrac{1}{a}y にする
- x 軸方向に a 倍 ⇒ x を \dfrac{1}{a}x にする
- a と \dfrac{1}{a} は逆数
【Ａ】y 軸方向に a 倍する
関数・方程式にある
- すべての y を ⇒ \dfrac{1}{a}y に変える
- \dfrac{1}{a} は a の逆数
y 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ y を \dfrac43y にする
x^2+y^2=4^2 ⇒ x^2+\left(\dfrac43y\right)^2=4^2
楕円の標準形になおす
よって x^2+\dfrac{4^2y^2}{3^2} = 4^2
両辺を 4^2 で割って \dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{3^2} = 1
したがって \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1
【Ｂ】x 軸方向に a 倍する
関数・方程式にある
- すべての x を ⇒ \dfrac{1}{a}x に変える
- \dfrac{1}{a} は a の逆数
x 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ x を \dfrac43x にする
x^2+y^2=4^2 ⇒ \left(\dfrac43x\right)^2+y^2=4^2
楕円の標準形になおす
よって \dfrac{4^2x^2}{3^2}+y^2 = 4^2
両辺を 4^2 で割って \dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{4^2} = 1
したがって \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1
練習問題にチャレンジ！
次の円を拡大または縮小して得られる楕円の方程式を求めよ。
btakeshi
- y 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ y を \left(\dfrac43y\right) に
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac43y\right)^2 &= 4^2\\
x^2 + \dfrac{4^2y^2}{3^2} &= 4^2\\
\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{3^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} &= 1
\end{align*}btakeshi
- y 軸方向に \dfrac23 倍 ⇒ y を \left(\dfrac32y\right) に
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac32y\right)^2 &= 3^2\\
x^2 + \dfrac{3^2y^2}{2^2} &= 3^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} &= 1
\end{align*}btakeshi
- y 軸方向に \dfrac43 倍 ⇒ y を \left(\dfrac34y\right) に
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac34y\right)^2 &= 3^2\\
x^2 + \dfrac{3^2y^2}{4^2} &= 3^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} &= 1
\end{align*}btakeshi
- x 軸方向に \dfrac43 倍 ⇒ x を \left(\dfrac43x\right) に
\begin{align*}
\left(\dfrac43x\right)^2+y^2 &= 4^2\\
\dfrac{4^2y^2}{3^2}+y^2 &= 4^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} &= 1
\end{align*}btakeshi
- x 軸方向に 2 倍 ⇒ x を \left(\dfrac12x\right) に
\begin{align*}
\left(\dfrac12x\right)^2+y^2 &= 4\\
\dfrac{1^2y^2}{2^2}+y^2 &= 4\\
\dfrac{x^2}{2^2 \cdot 4}+\dfrac{y^2}{4} &= 1\\
\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} &= 1
\end{align*}- 2021.05.04 … 初版公開。問題数5
