円の方程式を拡大・縮小した楕円を求める(5)

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楕円は,円を縮小または拡大して得られる曲線です。いや逆でしょうか。円は,楕円を縮小または拡大して得られる特別な曲線です。正方形が長方形の特別な場合であることと同じです。さらに拡大・縮小の考え方は,円や楕円に限らず使えます。

Happy Math-ing!!

円上に点Q(s,\ t)をとります。

点Q(s,\ t)は円上にあるから グラフ上にある ⇒ 代入!

s^2+t^2=4^2 ・・・①

Q(s,\ t) が移る点をP(x,\ y) とします。
x 軸方向はそのまま,y 軸方向に \dfrac34 倍するから

x=sy=\dfrac34t ・・・②

s,\ t を消去します。

P(x,\ y) の動きを追いたいから,Q(s,\ t) を消去します。

②より s = xt = \dfrac43y ・・・③

③を①に代入すると x^2 + \left(\dfrac43y\right)^2=4^2

展開して x^2+\dfrac{4^2y^2}{3^2} = 4^2

両辺を4^2で割って \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9} = 1

気づいた?
円の方程式 y\dfrac43y にする?
  • y 軸方向に a 倍 ⇒ y\dfrac{1}{a}y にする
  • x 軸方向に a 倍 ⇒ x\dfrac{1}{a}x にする
  • a\dfrac{1}{a} は逆数

【A】y 軸方向に a 倍する

関数・方程式にある

  • すべての y を ⇒ \dfrac{1}{a}y に変える
  • \dfrac{1}{a}a の逆数
y 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ y\dfrac43y にする
x^2+y^2=4^2x^2+\left(\dfrac43y\right)^2=4^2
楕円の標準形になおす

よって x^2+\dfrac{4^2y^2}{3^2} = 4^2

両辺を 4^2 で割って \dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{3^2} = 1

したがって \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1

【B】x 軸方向に a 倍する

関数・方程式にある

  • すべての x を ⇒ \dfrac{1}{a}x に変える
  • \dfrac{1}{a}a の逆数
x 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ x\dfrac43x にする
x^2+y^2=4^2\left(\dfrac43x\right)^2+y^2=4^2
楕円の標準形になおす

よって \dfrac{4^2x^2}{3^2}+y^2 = 4^2

両辺を 4^2 で割って \dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{4^2} = 1

したがって \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1

練習問題にチャレンジ!

次の円を拡大または縮小して得られる楕円の方程式を求めよ。

btakeshi
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  • y 軸方向に \dfrac34 倍 ⇒ y\left(\dfrac43y\right)
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac43y\right)^2 &= 4^2\\
x^2 + \dfrac{4^2y^2}{3^2} &= 4^2\\
\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{3^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} &= 1
\end{align*}
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  • y 軸方向に \dfrac23 倍 ⇒ y\left(\dfrac32y\right)
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac32y\right)^2 &= 3^2\\
x^2 + \dfrac{3^2y^2}{2^2} &= 3^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} &= 1
\end{align*}
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  • y 軸方向に \dfrac43 倍 ⇒ y\left(\dfrac34y\right)
\begin{align*}
x^2+\left(\dfrac34y\right)^2 &= 3^2\\
x^2 + \dfrac{3^2y^2}{4^2} &= 3^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} &= 1
\end{align*}
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  • x 軸方向に \dfrac43 倍 ⇒ x\left(\dfrac43x\right)
\begin{align*}
\left(\dfrac43x\right)^2+y^2 &= 4^2\\
\dfrac{4^2y^2}{3^2}+y^2 &= 4^2\\
\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} &= 1
\end{align*}
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  • x 軸方向に 2 倍 ⇒ x\left(\dfrac12x\right)
\begin{align*}
\left(\dfrac12x\right)^2+y^2 &= 4\\
\dfrac{1^2y^2}{2^2}+y^2 &= 4\\
\dfrac{x^2}{2^2 \cdot 4}+\dfrac{y^2}{4} &= 1\\
\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} &= 1
\end{align*}
  • 2021.05.04 … 初版公開。問題数5

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