２つの焦点と焦点からの距離の和から楕円の方程式(7)

btakeshi

２つの焦点に，焦点からの距離の和が与えられれば楕円の方程式を求めることができます。「焦点からの距離の和＝長軸の長さ」に変えたパターンもあります。

Happy Math-ing!!

【Ａ】

(p,\ 0),\ (-p,\ 0)

を焦点とし，焦点からの距離の和が

a

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$ 　長いほうが長軸
短軸の長さ＝ $2b$ 　短いほうが短軸
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標　ルートの中をマイナスにしない

【例題Ａ】２点

(3,\ 0),\ (-3,\ 0)

を焦点とし，焦点からの距離の和が

10

である楕円の方程式を求めよ。

焦点の

y

座標が

0

であるから

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝

2a

焦点からの距離の和について　長いほうが長軸

2a=10

であるから

a=5

\sqrt{a^2-b^2}

＝焦点の

x

座標

焦点の座標について

\sqrt{a^2-b^2}=3

であるから

両辺を２乗して　 $a^2-b^2=9$ 　

b^2=a^2-9=5^2-9=25-9=16

標準形にする

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1

【Ｂ】

(0,\ p),\ (0,\ -p)

を焦点とし，焦点からの距離の和が

b

焦点の $x$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $b>a>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2b$ 　長いほうが長軸
短軸の長さ＝ $2a$ 　短いほうが短軸
$\sqrt{b^2-a^2}$ ＝焦点の $y$ 座標　ルートの中をマイナスにしない

【例題Ｂ】２点

(0,\ \sqrt{5}),\ (0,\ -\sqrt{5})

を焦点とし，焦点からの距離の和が

6

である楕円の方程式を求めよ。

焦点の

x

座標が

0

であるから

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $b>a>0$ ）とおける。

長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝

2b

焦点からの距離の和について　長いほうが長軸

2b=6

であるから

b=3

\sqrt{b^2-a^2}

＝焦点の

y

座標

焦点の座標について

\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{5}

であるから

両辺を２乗して　 $b^2-a^2=5$ 　

a^2=b^2-5=3^2-5=9-5=4

標準形にする

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1

練習問題にチャレンジ！

次の楕円の方程式を求めよ。

２点 $(3,\ 0),\ (-3,\ 0)$ を焦点とし，焦点からの距離の和が $10$

btakeshi

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

焦点からの距離の和について， $2a=10$ であるから $a=5$

焦点の座標について　 $\sqrt{a^2-b^2} = 3$ であるから

\begin{align*} a^2-b^2 &= 9\\ b^2 &= a^2-9\\ &= 5^2-9\\ &= 25-9\\ &=16 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1

２点 $(2,\ 0),\ (-2,\ 0)$ を焦点とし，焦点からの距離の和が $6$

btakeshi

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

焦点からの距離の和について， $2a=6$ であるから $a=3$

焦点の座標について　 $\sqrt{a^2-b^2} = 2$ であるから

\begin{align*} a^2-b^2 &= 4\\ b^2 &= a^2-4\\ &= 3^2-4\\ &= 9-4\\ &=5 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1

２点 $(\sqrt{3},\ 0),\ (-\sqrt{3},\ 0)$ を焦点とし，焦点からの距離の和が $4$

btakeshi

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

焦点からの距離の和について， $2a=4$ であるから $a=2$

焦点の座標について　 $\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{3}$ であるから

\begin{align*} a^2-b^2 &= 3\\ b^2 &= a^2-3\\ &= 2^2-3\\ &= 4-3\\ &=1 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{4} + y^2= 1

２点 $(4,\ 0),\ (-4,\ 0)$ を焦点とし，焦点からの距離の和が $10$

btakeshi

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

焦点からの距離の和について， $2a=10$ であるから $a=5$

焦点の座標について　 $\sqrt{a^2-b^2} = 4$ であるから

\begin{align*} a^2-b^2 &= 16\\ b^2 &= a^2-16\\ &= 5^2-16\\ &= 25-16\\ &=9 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9}= 1

２点 $(0,\ \sqrt{5}),\ (0,\ -\sqrt{5})$ を焦点とし，焦点からの距離の和が $6$

btakeshi

焦点の $x$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $b>a>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2b$
$\sqrt{b^2-a^2}$ ＝焦点の $y$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $b>a>0$ ）とおける。

焦点からの距離の和について， $2b=6$ であるから $b=3$

焦点の座標について　 $\sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{5}$ であるから

\begin{align*} b^2-a^2 &= 5\\ a^2 &= b^2-5\\ &= 3^2-5\\ &= 9-5\\ &=4 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}= 1

２点 $(2,\ 0),\ (-2,\ 0)$ を焦点とし，長軸の長さが $6$

btakeshi

焦点の $y$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a>b>0$ ）
長軸の長さ＝焦点からの距離の和＝ $2a$
$\sqrt{a^2-b^2}$ ＝焦点の $x$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $a>b>0$ ）とおける。

長軸の長さについて， $2a=6$ であるから $a=3$

焦点の座標について　 $\sqrt{a^2-b^2} = 2$ であるから

\begin{align*} a^2-b^2 &= 4\\ b^2 &= a^2-4\\ &= 3^2-4\\ &= 9-4\\ &=5 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5}= 1

２点 $(0,\ 3),\ (0,\ -3)$ を焦点とし，短軸の長さが $4$

btakeshi

焦点の $x$ 座標が $0$ であるから

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （ $b>a>0$ ）
短軸の長さ＝ $2a$
$\sqrt{b^2-a^2}$ ＝焦点の $y$ 座標

求める方程式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$ （ $b>a>0$ ）とおける。

短軸の長さについて， $2a=4$ であるから $a=2$

焦点の座標について　 $\sqrt{b^2-a^2} = 3$ であるから

\begin{align*} b^2-a^2 &= 9\\ b^2 &= a^2+9\\ &= 2^2+9\\ &= 4+9\\ &=13 \end{align*}

したがって，求める楕円の方程式は

\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{13}= 1

編集ログ

2021.05.04 … 初版公開。コンテンツ作成に必要になりそうな再利用可能ブロックを定義してまとめてみた。

コメントを残す コメントをキャンセル

コメントを残すコメントをキャンセル