
2つの焦点に,焦点からの距離の和が与えられれば楕円の方程式を求めることができます。「焦点からの距離の和=長軸の長さ」に変えたパターンもあります。
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焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和=2a 長いほうが長軸
- 短軸の長さ=2b 短いほうが短軸
- \sqrt{a^2-b^2}=焦点の x 座標 ルートの中をマイナスにしない
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)とおける。
焦点からの距離の和について 長いほうが長軸
2a=10 であるから a=5焦点の座標について
\sqrt{a^2-b^2}=3 であるから両辺を2乗して a^2-b^2=9
b^2=a^2-9=5^2-9=25-9=16したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1焦点の x 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(b>a>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和=2b 長いほうが長軸
- 短軸の長さ=2a 短いほうが短軸
- \sqrt{b^2-a^2}=焦点の y 座標 ルートの中をマイナスにしない
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(b>a>0)とおける。
焦点からの距離の和について 長いほうが長軸
2b=6 であるから b=3焦点の座標について
\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{5} であるから両辺を2乗して b^2-a^2=5
a^2=b^2-5=3^2-5=9-5=4したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1次の楕円の方程式を求めよ。

焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2a
- \sqrt{a^2-b^2} = 焦点の x 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)とおける。
焦点からの距離の和について,2a=10 であるから a=5
焦点の座標について \sqrt{a^2-b^2} = 3 であるから
\begin{align*} a^2-b^2 &= 9\\ b^2 &= a^2-9\\ &= 5^2-9\\ &= 25-9\\ &=16 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1

焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2a
- \sqrt{a^2-b^2} = 焦点の x 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)とおける。
焦点からの距離の和について,2a=6 であるから a=3
焦点の座標について \sqrt{a^2-b^2} = 2 であるから
\begin{align*} a^2-b^2 &= 4\\ b^2 &= a^2-4\\ &= 3^2-4\\ &= 9-4\\ &=5 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1

焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2a
- \sqrt{a^2-b^2} = 焦点の x 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)とおける。
焦点からの距離の和について,2a=4 であるから a=2
焦点の座標について \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{3} であるから
\begin{align*} a^2-b^2 &= 3\\ b^2 &= a^2-3\\ &= 2^2-3\\ &= 4-3\\ &=1 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{4} + y^2= 1

焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2a
- \sqrt{a^2-b^2} = 焦点の x 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)とおける。
焦点からの距離の和について,2a=10 であるから a=5
焦点の座標について \sqrt{a^2-b^2} = 4 であるから
\begin{align*} a^2-b^2 &= 16\\ b^2 &= a^2-16\\ &= 5^2-16\\ &= 25-16\\ &=9 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9}= 1

焦点の x 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(b>a>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2b
- \sqrt{b^2-a^2} = 焦点の y 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(b>a>0)とおける。
焦点からの距離の和について,2b=6 であるから b=3
焦点の座標について \sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{5} であるから
\begin{align*} b^2-a^2 &= 5\\ a^2 &= b^2-5\\ &= 3^2-5\\ &= 9-5\\ &=4 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}= 1

焦点の y 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)
- 長軸の長さ=焦点からの距離の和= 2a
- \sqrt{a^2-b^2} = 焦点の x 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)とおける。
長軸の長さについて,2a=6 であるから a=3
焦点の座標について \sqrt{a^2-b^2} = 2 であるから
\begin{align*} a^2-b^2 &= 4\\ b^2 &= a^2-4\\ &= 3^2-4\\ &= 9-4\\ &=5 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5}= 1

焦点の x 座標が 0 であるから
- \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(b>a>0)
- 短軸の長さ=2a
- \sqrt{b^2-a^2} = 焦点の y 座標
求める方程式は \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(b>a>0)とおける。
短軸の長さについて,2a=4 であるから a=2
焦点の座標について \sqrt{b^2-a^2} = 3 であるから
\begin{align*} b^2-a^2 &= 9\\ b^2 &= a^2+9\\ &= 2^2+9\\ &= 4+9\\ &=13 \end{align*}
したがって,求める楕円の方程式は
\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{13}= 1
- 2021.05.04 … 初版公開。コンテンツ作成に必要になりそうな再利用可能ブロックを定義してまとめてみた。