楕円の方程式を標準形になおして，楕円の焦点・長軸の長さ・短軸の長さを求める問題です。パターンが２つありますが，考え方を身につければ解法はどちらも同じです。
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楕円の方程式は，x^2,\ y^2 を含み，和が１になるのが特徴です。分母が大きい文字を中心に公式の使い方を覚えていきましょう。
【パターンＡ】x^2の分母が大きい場合
最初に基本パターンです。楕円の概形をかくと横長になります。y^2 の分母よりも x^2 の分母が大きい場合です。公式と例題を確認していきましょう。
焦点は (\sqrt{a^2-b^2},\ 0)，(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)
長軸の長さ（長径）は 2a，短軸の長さ（短径）は 2b
焦点は２点 (\sqrt{7},\ 0)，(-\sqrt{7},\ 0)
長軸の長さは 2 \times 4 = 8
短軸の長さは 2 \times 3 = 6
【パターンＢ】y^2の分母が大きい場合
続いて，x^2 の分母よりも y^2 の分母が大きい場合です。楕円の概形をかくと縦長になります。焦点のルートの中がマイナスにならないように気をつけながら，公式と例題を確認していきましょう。
焦点は (0,\ \sqrt{b^2-a^2})，(0,\ -\sqrt{b^2-a^2})
長軸の長さ（長径）は 2b，短軸の長さ（短径）は 2a
焦点は２点 (0,\ \sqrt{5})，(0,\ -\sqrt{5})
長軸の長さは 2 \times 3 = 6
短軸の長さは 2 \times 2 = 4
焦点に使うルートの中が，マイナスにならないように引き算をしましょう。これを意識すれば公式を使うとに迷いません。
２つの数の間には，大きい，小さい，そして等しいという３つの大小関係があります。分母が等しい場合はどうなるのでしょうか。考えてみましょう。誰もが美しいと感じるあの図形です。
練習問題にチャレンジ
次の楕円の焦点，長軸の長さ，短軸の長さを求めなさい。
- x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
- x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
- x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
- y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b
焦点は，２点 (\sqrt{7},\ 0)，(-\sqrt{7},\ 0)
長軸の長さは 2 \times 4 = 8
短軸の長さは 2 \times 3 = 6
- x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
- x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
- x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
- y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b
焦点は，２点 (4,\ 0)，(-4,\ 0)
長軸の長さは 2 \times 5 = 10
短軸の長さは 2 \times 3 = 6
- 楕円の標準形になおす
- x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
- x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
- x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
- y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b
\begin{align*}
\dfrac{x^2}{9} + y^2 &= 1\\
\dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{1^2} &= 1
\end{align*}焦点は，２点 (2\sqrt{2},\ 0)，(-2\sqrt{2},\ 0)
長軸の長さは 2 \times 3 = 6
短軸の長さは 2 \times 1 = 2
- x^2,\ y^2 を含む和 ⇒ 楕円の標準形になおす
- x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
- x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
- x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
- y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b
\begin{align*}
x^2 + 4y^2 &= 8\\
\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{\left(2\sqrt{2}\right)^2} + \dfrac{y^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2} &= 1
\end{align*}焦点は，２点 (\sqrt{6},\ 0)，(-\sqrt{6},\ 0)
長軸の長さは 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
短軸の長さは 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
- y^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{b^2-a^2} を求める
- y^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の x座標は 0
- y^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2b
- x^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2a
焦点は，２点 (0,\ \sqrt{5})，(0,\ -\sqrt{5})
長軸の長さは 2 \times 3 = 6
短軸の長さは 2 \times 2 = 4
- 楕円の標準形になおす
- y^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{b^2-a^2} を求める
- y^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の x座標は 0
- y^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2b
- x^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2a
\begin{align*}
x^2 + \dfrac{y^2}{9} &= 1\\
\dfrac{x^2}{1^2} + \dfrac{y^2}{3^2} &= 1
\end{align*}焦点は，２点 (0,\ 2\sqrt{2})，(0,\ -2\sqrt{2})
長軸の長さは 2 \times 3 = 6
短軸の長さは 2 \times 1 = 2
