楕円の方程式から焦点・長径・短径を求める

btakeshi
btakeshi

楕円の方程式を標準形になおして,楕円の焦点・長軸の長さ・短軸の長さを求める問題です。パターンが2つありますが,考え方を身につければ解法はどちらも同じです。

Happy Math-ing!

楕円の方程式は,x^2,\ y^2 を含み,和が1になるのが特徴です。分母が大きい文字を中心に公式の使い方を覚えていきましょう。

【パターンA】x^2の分母が大きい場合

最初に基本パターンです。楕円の概形をかくと横長になります。y^2 の分母よりも x^2 の分母が大きい場合です。公式と例題を確認していきましょう。

【 公式A 】楕円 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1a>b>0

焦点は (\sqrt{a^2-b^2},\ 0)(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)

長軸の長さ(長径)は 2a,短軸の長さ(短径)は 2b

x^2の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
4>3 であるから \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7} ルートの中をマイナスにしない!

x^2の分母が大きい ⇒焦点の y座標は 0

焦点は2点 (\sqrt{7},\ 0)(-\sqrt{7},\ 0)

x^2の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a

長軸の長さは 2 \times 4 = 8

y^2の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b

短軸の長さは 2 \times 3 = 6

【パターンB】y^2の分母が大きい場合

続いて,x^2 の分母よりも y^2 の分母が大きい場合です。楕円の概形をかくと縦長になります。焦点のルートの中がマイナスにならないように気をつけながら,公式と例題を確認していきましょう。

【 公式B 】楕円 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1b>a>0

焦点は (0,\ \sqrt{b^2-a^2})(0,\ -\sqrt{b^2-a^2})

長軸の長さ(長径)は 2b,短軸の長さ(短径)は 2a

y^2の分母が大きい ⇒ \sqrt{b^2-a^2} を求める
2<3 であるから \sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{9-4} = \sqrt{5} ルートの中をマイナスにしない!

y^2の分母が大きい ⇒焦点の x座標は 0

焦点は2点 (0,\ \sqrt{5})(0,\ -\sqrt{5})

y^2の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2b

長軸の長さは 2 \times 3 = 6

x^2の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2a

短軸の長さは 2 \times 2 = 4

ルートの中をマイナスにしない!

焦点に使うルートの中が,マイナスにならないように引き算をしましょう。これを意識すれば公式を使うとに迷いません。

x^2y^2 の分母が同じだったら

2つの数の間には,大きい,小さい,そして等しいという3つの大小関係があります。分母が等しい場合はどうなるのでしょうか。考えてみましょう。誰もが美しいと感じるあの図形です。

練習問題にチャレンジ

次の楕円の焦点,長軸の長さ,短軸の長さを求めなさい。

btakeshi
btakeshi
  • x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
  • y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b

\sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7} より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (\sqrt{7},\ 0)(-\sqrt{7},\ 0)

長軸の長さは 2 \times 4 = 8

短軸の長さは 2 \times 3 = 6

btakeshi
btakeshi
  • x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
  • y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b

\sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (4,\ 0)(-4,\ 0)

長軸の長さは 2 \times 5 = 10

短軸の長さは 2 \times 3 = 6

btakeshi
btakeshi
  • 楕円の標準形になおす
  • x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
  • y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b

\begin{align*}
\dfrac{x^2}{9} + y^2 &= 1\\
\dfrac{x^2}{3^2} + \dfrac{y^2}{1^2} &= 1
\end{align*}
\sqrt{3^2-1^2} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (2\sqrt{2},\ 0)(-2\sqrt{2},\ 0)

長軸の長さは 2 \times 3 = 6

短軸の長さは 2 \times 1 = 2

btakeshi
btakeshi
  • x^2,\ y^2 を含む和 ⇒ 楕円の標準形になおす
  • x^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{a^2-b^2} を求める
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の y座標は 0
  • x^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2a
  • y^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2b

\begin{align*}
x^2 + 4y^2 &= 8\\
\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} &= 1\\
\dfrac{x^2}{\left(2\sqrt{2}\right)^2} + \dfrac{y^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2} &= 1
\end{align*}
\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{8-2} = \sqrt{6} より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (\sqrt{6},\ 0)(-\sqrt{6},\ 0)

長軸の長さは 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

短軸の長さは 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

btakeshi
btakeshi
  • y^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{b^2-a^2} を求める
  • y^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の x座標は 0
  • y^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2b
  • x^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2a

\sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{9-4} = \sqrt{5} より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (0,\ \sqrt{5})(0,\ -\sqrt{5})

長軸の長さは 2 \times 3 = 6

短軸の長さは 2 \times 2 = 4

btakeshi
btakeshi
  • 楕円の標準形になおす
  • y^2 の分母が大きい ⇒ \sqrt{b^2-a^2} を求める
  • y^2 の分母が大きい ⇒ 焦点の x座標は 0
  • y^2 の分母が大きい ⇒ 長軸の長さは 2b
  • x^2 の分母が小さい ⇒ 短軸の長さは 2a

\begin{align*}
x^2 + \dfrac{y^2}{9} &= 1\\
\dfrac{x^2}{1^2} + \dfrac{y^2}{3^2} &= 1
\end{align*}
\sqrt{3^2-1^2} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} より ルートの中をマイナスにしない!

焦点は,2点 (0,\ 2\sqrt{2})(0,\ -2\sqrt{2})

長軸の長さは 2 \times 3 = 6

短軸の長さは 2 \times 1 = 2

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です