放物線の方程式から焦点と準線を求める(12)

btakeshi

放物線の方程式を標準形になおして，放物線の焦点と準線を求める問題です。パターンが２つありますが，考え方を身につければ解法はどちらも同じです。

Happy Math-ing!

放物線の方程式は， $x,\ y$ のどちらか一方だけに２乗がついています。２乗がついている文字を基本に標準形になおし，焦点や準線の元になる $p$ を求めることができれば完了です。

【パターンＡ】 $y^2$ がある場合

最初に基本パターンです。２次曲線の放物線といえば $y^2$ がある場合です。公式と例題を確認していきましょう。

【公式Ａ】放物線

y^2=4 \times p \times x

焦点 $(p,\ 0)$ ，準線 $x=-p$

【例題Ａ】放物線

y^2=-x

の焦点と準線を求めなさい。

y^2

がある ⇒

y^2=4px

になおす

y^2 = -x = 4 \times \left(-\dfrac14\right) \times x

よって， $p = -\dfrac14$

y^2

がある ⇒ 焦点の

y

座標が

0

，

x

座標が

p

焦点は点 $\left(-\dfrac14,\ 0\right)$

y^2

がある ⇒ 準線は直線

x = -p

準線は直線 $x=\dfrac14$

【パターンＢ】 $x^2$ がある場合

続いて $x^2$ がある場合の公式と例題です。パターンＡと考え方は同じです。 $x$ と $y$ が入れ替わっていることに注目しましょう。こちらは中学時代からおなじみのいわゆる放物線です。

【 B 】放物線

x^2=4 \times p \times y

焦点 $(0,\ p)$ ，準線 $y=-p$

【 B 】放物線

x^2=4y

の焦点と準線を求めなさい。

x^2

がある ⇒

x^2=4py

になおす

x^2 = 4y = 4 \times 1 \times y

よって， $p = 1$

x^2

がある ⇒ 焦点の

x

座標が

0

，

y

座標が

p

焦点は点 $\left(0,\ 1\right)$

x^2

がある ⇒ 準線は直線

y = -p

準線は直線 $y=-1$

p

と

-p

は符号を変える！

公式中の $p$ と $-p$ は符号が異なることに注目しましょう。色々なところに登場する大切なポイントです。

練習問題にチャレンジ

次の放物線の焦点と準線を求めなさい。

y^2=-x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= -x\\ y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \times x\\ \end{align*}

よって， $p = -\dfrac14$ であるから

焦点は点 $\left(-\dfrac{1}{4},\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = \dfrac{1}{4}$ である。

y^2=8x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= 8x\\ y^2 &= 4 \times 2 \times x\\ \end{align*}

よって， $p = 2$ であるから

焦点は点 $\left(2,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = -2$ である。

y^2=-4x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= -4x\\ y^2 &= 4 \times (-1) \times x\\ \end{align*}

よって， $p = -1$ であるから

焦点は点 $\left(-1,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = 1$ である。

y^2=x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= x\\ y^2 &= 4 \times \dfrac14 \times x\\ \end{align*}

よって， $p = \dfrac14$ であるから

焦点は点 $\left(\dfrac14,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = -\dfrac14$ である。

x^2=4y

btakeshi

$x^2$ がある ⇒ $x^2=4py$ になおす
$x^2$ がある ⇒ 焦点の $x$ 座標は $0$ ， $y$ 座標は $p$
$x^2$ がある ⇒ 準線は直線 $y = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} x^2 &= 4y\\ x^2 &= 4 \times 1 \times y\\ \end{align*}

よって， $p = 1$ であるから

焦点は点 $\left(0,\ 1\right)$ で，準線は直線 $y = -1$ である。

y=-2x^2

btakeshi

$x^2$ がある ⇒ $x^2=4py$ になおす
$x^2$ がある ⇒ 焦点の $x$ 座標は $0$ ， $y$ 座標は $p$
$x^2$ がある ⇒ 準線は直線 $y = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y &= -2x^2\\ 2x^2 &= -y\\ x^2 &= -\dfrac12 y\\ x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac18\right) \times y\\ \end{align*}

よって， $p = -\dfrac18$ であるから

焦点は点 $\left(0,\ -\dfrac18\right)$ で，準線は直線 $y = \dfrac18$ である。

y^2=16x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= 16x\\ y^2 &= 4 \times 4 \times x\\ \end{align*}

よって， $p = 4$ であるから

焦点は点 $\left(4,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = -4$ である。

y^2=-12x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= -12x\\ y^2 &= 4 \times (-3) \times x\\ \end{align*}

よって， $p = -3$ であるから

焦点は点 $\left(-3,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = 3$ である。

y^2=-3x

btakeshi

$y^2$ がある ⇒ $y^2=4px$ になおす
$y^2$ がある ⇒ 焦点の $y$ 座標は $0$ ， $x$ 座標は $p$
$y^2$ がある ⇒ 準線は直線 $x = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y^2 &= -3x\\ y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac34\right) \times x\\ \end{align*}

よって， $p = -\dfrac34$ であるから

焦点は点 $\left(-\dfrac34,\ 0\right)$ で，準線は直線 $x = \dfrac34$ である。

x^2=8y

btakeshi

$x^2$ がある ⇒ $x^2=4py$ になおす
$x^2$ がある ⇒ 焦点の $x$ 座標は $0$ ， $y$ 座標は $p$
$x^2$ がある ⇒ 準線は直線 $y = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} x^2 &= 8y\\ x^2 &= 4 \times 2 \times y\\ \end{align*}

よって， $p = 2$ であるから

焦点は点 $\left(0,\ 2\right)$ で，準線は直線 $y = -2$ である。

y=x^2

btakeshi

$x^2$ がある ⇒ $x^2=4py$ になおす
$x^2$ がある ⇒ 焦点の $x$ 座標は $0$ ， $y$ 座標は $p$
$x^2$ がある ⇒ 準線は直線 $y = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y &= x^2\\ x^2 &= y\\ x^2 &= 4 \times \dfrac14 \times y\\ \end{align*}

よって， $p = \dfrac14$ であるから

焦点は点 $\left(0,\ \dfrac14\right)$ で，準線は直線 $y = -\dfrac14$ である。

y=-4x^2

btakeshi

$x^2$ がある ⇒ $x^2=4py$ になおす
$x^2$ がある ⇒ 焦点の $x$ 座標は $0$ ， $y$ 座標は $p$
$x^2$ がある ⇒ 準線は直線 $y = -p$ 符号が変わる！

\begin{align*} y &= -4x^2\\ 4x^2 &= -y\\ x^2 &= -\dfrac14 y\\ x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times y\\ \end{align*}

よって， $p = -\dfrac{1}{16}$ であるから

焦点は点 $\left(0,\ -\dfrac{1}{16}\right)$ で，準線は直線 $y = \dfrac{1}{16}$ である。

【パターンＡ】y^2 がある場合

【パターンＢ】x^2 がある場合

練習問題にチャレンジ

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【パターンＡ】 $y^2$ がある場合

【パターンＢ】 $x^2$ がある場合

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