放物線の方程式から焦点と準線を求める(12)

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放物線の方程式を標準形になおして,放物線の焦点と準線を求める問題です。パターンが2つありますが,考え方を身につければ解法はどちらも同じです。

Happy Math-ing!

放物線の方程式は,x,\ y のどちらか一方だけに2乗がついています。2乗がついている文字を基本に標準形になおし,焦点や準線の元になる p を求めることができれば完了です。

【パターンAy^2 がある場合

最初に基本パターンです。2次曲線の放物線といえば y^2 がある場合です。公式と例題を確認していきましょう。

【 公式A 】放物線 y^2=4 \times p \times x

焦点 (p,\ 0),準線 x=-p

y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
y^2 = -x = 4 \times \left(-\dfrac14\right) \times x

よって,p = -\dfrac14

y^2 がある ⇒ 焦点の y座標が0x座標がp

焦点は点\left(-\dfrac14,\ 0\right)

y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p

準線は直線 x=\dfrac14

【パターンB】x^2 がある場合

続いて x^2 がある場合の公式と例題です。パターンAと考え方は同じです。xy が入れ替わっていることに注目しましょう。こちらは中学時代からおなじみのいわゆる放物線です。

【 B 】放物線 x^2=4 \times p \times y

焦点 (0,\ p),準線 y=-p

x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
x^2 = 4y = 4 \times 1 \times y

よって,p = 1

x^2 がある ⇒ 焦点の x座標が0y座標がp

焦点は点\left(0,\ 1\right)

x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p

準線は直線 y=-1

p-p は符号を変える!

公式中の p-p は符号が異なることに注目しましょう。色々なところに登場する大切なポイントです。

練習問題にチャレンジ

次の放物線の焦点と準線を求めなさい。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= -x\\
y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \times x\\
\end{align*}

よって,p = -\dfrac14 であるから

焦点は点 \left(-\dfrac{1}{4},\ 0\right)で,準線は直線 x = \dfrac{1}{4} である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= 8x\\
y^2 &= 4 \times 2 \times x\\
\end{align*}

よって,p = 2 であるから

焦点は点 \left(2,\ 0\right)で,準線は直線 x = -2 である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= -4x\\
y^2 &= 4 \times (-1) \times x\\
\end{align*}

よって,p = -1 であるから

焦点は点 \left(-1,\ 0\right)で,準線は直線 x = 1 である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= x\\
y^2 &= 4 \times \dfrac14 \times x\\
\end{align*}

よって,p = \dfrac14 であるから

焦点は点 \left(\dfrac14,\ 0\right)で,準線は直線 x = -\dfrac14 である。

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  • x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
  • x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0y座標は p
  • x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
x^2 &= 4y\\
x^2 &= 4 \times 1 \times y\\
\end{align*}

よって,p = 1 であるから

焦点は点 \left(0,\ 1\right)で,準線は直線 y = -1 である。

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  • x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
  • x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0y座標は p
  • x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y &= -2x^2\\
2x^2 &= -y\\
x^2 &= -\dfrac12 y\\
x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac18\right) \times y\\
\end{align*}

よって,p = -\dfrac18 であるから

焦点は点 \left(0,\ -\dfrac18\right)で,準線は直線 y = \dfrac18 である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= 16x\\
y^2 &= 4 \times 4 \times x\\
\end{align*}

よって,p = 4 であるから

焦点は点 \left(4,\ 0\right)で,準線は直線 x = -4 である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= -12x\\
y^2 &= 4 \times (-3) \times x\\
\end{align*}

よって,p = -3 であるから

焦点は点 \left(-3,\ 0\right)で,準線は直線 x = 3 である。

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  • y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
  • y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0x座標は p
  • y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y^2 &= -3x\\
y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac34\right) \times x\\
\end{align*}

よって,p = -\dfrac34 であるから

焦点は点 \left(-\dfrac34,\ 0\right)で,準線は直線 x = \dfrac34 である。

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  • x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
  • x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0y座標は p
  • x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
x^2 &= 8y\\
x^2 &= 4 \times 2 \times y\\
\end{align*}

よって,p = 2 であるから

焦点は点 \left(0,\ 2\right)で,準線は直線 y = -2 である。

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  • x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
  • x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0y座標は p
  • x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y &= x^2\\
x^2 &= y\\
x^2 &= 4 \times \dfrac14 \times y\\
\end{align*}

よって,p = \dfrac14 であるから

焦点は点 \left(0,\ \dfrac14\right)で,準線は直線 y = -\dfrac14 である。

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  • x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
  • x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0y座標は p
  • x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*}
y &= -4x^2\\
4x^2 &= -y\\
x^2 &= -\dfrac14 y\\
x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times y\\
\end{align*}

よって,p = -\dfrac{1}{16} であるから

焦点は点 \left(0,\ -\dfrac{1}{16}\right)で,準線は直線 y = \dfrac{1}{16} である。

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