
放物線の方程式を標準形になおして,放物線の焦点と準線を求める問題です。パターンが2つありますが,考え方を身につければ解法はどちらも同じです。
Happy Math-ing!
放物線の方程式は,x,\ y のどちらか一方だけに2乗がついています。2乗がついている文字を基本に標準形になおし,焦点や準線の元になる p を求めることができれば完了です。
【パターンA】y^2 がある場合
最初に基本パターンです。2次曲線の放物線といえば y^2 がある場合です。公式と例題を確認していきましょう。
焦点 (p,\ 0),準線 x=-p
よって,p = -\dfrac14
焦点は点\left(-\dfrac14,\ 0\right)
準線は直線 x=\dfrac14
【パターンB】x^2 がある場合
続いて x^2 がある場合の公式と例題です。パターンAと考え方は同じです。x と y が入れ替わっていることに注目しましょう。こちらは中学時代からおなじみのいわゆる放物線です。
焦点 (0,\ p),準線 y=-p
よって,p = 1
焦点は点\left(0,\ 1\right)
準線は直線 y=-1
練習問題にチャレンジ
次の放物線の焦点と準線を求めなさい。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= -x\\ y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \times x\\ \end{align*}
よって,p = -\dfrac14 であるから
焦点は点 \left(-\dfrac{1}{4},\ 0\right)で,準線は直線 x = \dfrac{1}{4} である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= 8x\\ y^2 &= 4 \times 2 \times x\\ \end{align*}
よって,p = 2 であるから
焦点は点 \left(2,\ 0\right)で,準線は直線 x = -2 である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= -4x\\ y^2 &= 4 \times (-1) \times x\\ \end{align*}
よって,p = -1 であるから
焦点は点 \left(-1,\ 0\right)で,準線は直線 x = 1 である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= x\\ y^2 &= 4 \times \dfrac14 \times x\\ \end{align*}
よって,p = \dfrac14 であるから
焦点は点 \left(\dfrac14,\ 0\right)で,準線は直線 x = -\dfrac14 である。

- x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
- x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0,y座標は p
- x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*} x^2 &= 4y\\ x^2 &= 4 \times 1 \times y\\ \end{align*}
よって,p = 1 であるから
焦点は点 \left(0,\ 1\right)で,準線は直線 y = -1 である。

- x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
- x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0,y座標は p
- x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y &= -2x^2\\ 2x^2 &= -y\\ x^2 &= -\dfrac12 y\\ x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac18\right) \times y\\ \end{align*}
よって,p = -\dfrac18 であるから
焦点は点 \left(0,\ -\dfrac18\right)で,準線は直線 y = \dfrac18 である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= 16x\\ y^2 &= 4 \times 4 \times x\\ \end{align*}
よって,p = 4 であるから
焦点は点 \left(4,\ 0\right)で,準線は直線 x = -4 である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= -12x\\ y^2 &= 4 \times (-3) \times x\\ \end{align*}
よって,p = -3 であるから
焦点は点 \left(-3,\ 0\right)で,準線は直線 x = 3 である。

- y^2 がある ⇒ y^2=4px になおす
- y^2 がある ⇒ 焦点の y座標は 0,x座標は p
- y^2 がある ⇒ 準線は直線 x = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y^2 &= -3x\\ y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac34\right) \times x\\ \end{align*}
よって,p = -\dfrac34 であるから
焦点は点 \left(-\dfrac34,\ 0\right)で,準線は直線 x = \dfrac34 である。

- x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
- x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0,y座標は p
- x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*} x^2 &= 8y\\ x^2 &= 4 \times 2 \times y\\ \end{align*}
よって,p = 2 であるから
焦点は点 \left(0,\ 2\right)で,準線は直線 y = -2 である。

- x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
- x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0,y座標は p
- x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y &= x^2\\ x^2 &= y\\ x^2 &= 4 \times \dfrac14 \times y\\ \end{align*}
よって,p = \dfrac14 であるから
焦点は点 \left(0,\ \dfrac14\right)で,準線は直線 y = -\dfrac14 である。

- x^2 がある ⇒ x^2=4py になおす
- x^2 がある ⇒ 焦点の x座標は 0,y座標は p
- x^2 がある ⇒ 準線は直線 y = -p 符号が変わる!
\begin{align*} y &= -4x^2\\ 4x^2 &= -y\\ x^2 &= -\dfrac14 y\\ x^2 &= 4 \times \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times y\\ \end{align*}
よって,p = -\dfrac{1}{16} であるから
焦点は点 \left(0,\ -\dfrac{1}{16}\right)で,準線は直線 y = \dfrac{1}{16} である。