焦点と準線から放物線の方程式を求める

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焦点と準線が与えられたとき,放物線の方程式を求める問題です。パターンが2つありますが,考え方を身につければ解法はどちらも同じです。

Happy Math-ing!

焦点Fからの距離と,Fを通らない準線からの距離が等しい点の軌跡を放物線といいます。焦点を見て 0 になっている座標を2乗して方程式を作り,0 ではない座標 p で右辺を完成させます。

【パターンA】焦点の y座標が 0 である場合

最初に基本パターンです。2次曲線の放物線といえば y座標が 0である場合です。公式と例題を確認していきましょう。

焦点 (p,\ 0),準線 x=-p
y^2=4 \times p \times x
焦点の 0 ではない値が p
p=1
焦点の y座標が 0y^2=4px
y^2=4 px = 4 \times 1 \times x=4x

【パターンB】焦点の x座標が 0 である場合

続いて x座標が 0である場合の公式と例題です。パターンAと考え方は同じです。xy が入れ替わっていることに注目しましょう。こちらは中学時代からおなじみのいわゆる放物線です。

焦点 (0,\ p),準線 y=-p
x^2=4 \times p \times y
焦点の 0 ではない値が p
p=-1
焦点の x座標が 0x^2=4py
x^2=4 py = 4 \times (-1) \times y=-4y
p-p は符号が異なる!

今回の解法では,焦点の 0ではない座標を p としました。準線を気にもしませんでしたが,符号が異なっていることには大注目です。色々なところに登場する大切なポイントです。

練習問題にチャレンジ

次のような放物線の方程式を求めなさい。

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  • 焦点の 0 ではない値が pp = 1
  • 焦点の y座標が 0y^2 = 4px

\begin{align*}
y^2 &= 4 \times 1 \times x\\
y^2 &= 4x
\end{align*}
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  • 焦点の 0 ではない値が pp = -2
  • 焦点の y座標が 0y^2 = 4px

\begin{align*}
y^2 &= 4 \times (-2) \times x\\
y^2 &= -8x
\end{align*}
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  • 焦点の 0 ではない値が pp = 5
  • 焦点の y座標が 0y^2 = 4px

\begin{align*}
y^2 &= 4 \times 5 \times x\\
y^2 &= 20x
\end{align*}
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  • 焦点の 0 ではない値が pp = -\dfrac32
  • 焦点の y座標が 0y^2 = 4px

\begin{align*}
y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac32\right) \times x\\
y^2 &= -6x
\end{align*}
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  • 焦点の 0 ではない値が pp = -1
  • 焦点の x座標が 0x^2 = 4py

\begin{align*}
x^2 &= 4 \times (-1) \times y\\
x^2 &= -4y
\end{align*}
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  • 焦点の 0 ではない値が pp = 3
  • 焦点の x座標が 0x^2 = 4py

\begin{align*}
x^2 &= 4 \times 3 \times y\\
x^2 &= 12y
\end{align*}

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