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焦点と準線が与えられたとき，放物線の方程式を求める問題です。パターンが２つありますが，考え方を身につければ解法はどちらも同じです。
Happy Math-ing!
焦点Ｆからの距離と，Ｆを通らない準線からの距離が等しい点の軌跡を放物線といいます。焦点を見て 0 になっている座標を２乗して方程式を作り，0 ではない座標 p で右辺を完成させます。
【パターンＡ】焦点の y座標が 0 である場合
最初に基本パターンです。２次曲線の放物線といえば y座標が 0である場合です。公式と例題を確認していきましょう。
焦点 (p,\ 0)，準線 x=-p
y^2=4 \times p \times x
焦点の 0 ではない値が p
p=1
焦点の y座標が 0 ⇒ y^2=4px
y^2=4 px = 4 \times 1 \times x=4x
【パターンＢ】焦点の x座標が 0 である場合
続いて x座標が 0である場合の公式と例題です。パターンＡと考え方は同じです。x と y が入れ替わっていることに注目しましょう。こちらは中学時代からおなじみのいわゆる放物線です。
焦点 (0,\ p)，準線 y=-p
x^2=4 \times p \times y
焦点の 0 ではない値が p
p=-1
焦点の x座標が 0 ⇒ x^2=4py
x^2=4 py = 4 \times (-1) \times y=-4y
p と -p は符号が異なる！
今回の解法では，焦点の 0ではない座標を p としました。準線を気にもしませんでしたが，符号が異なっていることには大注目です。色々なところに登場する大切なポイントです。
練習問題にチャレンジ
次のような放物線の方程式を求めなさい。
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- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = 1
- 焦点の y座標が 0 ⇒ y^2 = 4px
\begin{align*}
y^2 &= 4 \times 1 \times x\\
y^2 &= 4x
\end{align*}btakeshi
- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = -2
- 焦点の y座標が 0 ⇒ y^2 = 4px
\begin{align*}
y^2 &= 4 \times (-2) \times x\\
y^2 &= -8x
\end{align*}btakeshi
- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = 5
- 焦点の y座標が 0 ⇒ y^2 = 4px
\begin{align*}
y^2 &= 4 \times 5 \times x\\
y^2 &= 20x
\end{align*}btakeshi
- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = -\dfrac32
- 焦点の y座標が 0 ⇒ y^2 = 4px
\begin{align*}
y^2 &= 4 \times \left(-\dfrac32\right) \times x\\
y^2 &= -6x
\end{align*}btakeshi
- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = -1
- 焦点の x座標が 0 ⇒ x^2 = 4py
\begin{align*}
x^2 &= 4 \times (-1) \times y\\
x^2 &= -4y
\end{align*}btakeshi
- 焦点の 0 ではない値が p ⇒ p = 3
- 焦点の x座標が 0 ⇒ x^2 = 4py
\begin{align*}
x^2 &= 4 \times 3 \times y\\
x^2 &= 12y
\end{align*}