複素数の絶対値
- 原点 {\rm O} と点 {\rm P} (z) との距離を，複素数 z の絶対値といい，|\,z\,| で表す。
|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
次の複素数の絶対値を求めよ。
|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,3+2\,i\,| &= \sqrt{3^2+2^2}\\
&= \sqrt{9+4}\\
&=\sqrt{13}
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,5-\,i\,| &\textcolor{orange}{= |\,5+(-1)\,i\,|}\\
&= \sqrt{5^2+(-1)^2}\\
&= \sqrt{25+1}\\
&=\sqrt{26}
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,3+4\,i\,| &= \sqrt{3^2+4^2}\\
&= \sqrt{9+16}\\
&=\sqrt{25} = 5
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,-2-5\,i\,| &\textcolor{orange}{= |\,-2+(-5)\,i\,|}\\
&= \sqrt{(-2)^2+(-5)^2}\\
&= \sqrt{4+25}\\
&=\sqrt{29}
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,-5\,| &\textcolor{orange}{= |\,-5+0\,i\,|}\\
&= \sqrt{(-5)^2\textcolor{orange}{+0^2}}\\
&= \sqrt{25} = 5
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,3\,i\,| &\textcolor{orange}{= |\,0+3\,i\,|}\\
&= \sqrt{\textcolor{orange}{0^2+}3^2}\\
&= \sqrt{9} = 3
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,-3+4\,i\,| &= \sqrt{(-3)^2+4^2}\\
&= \sqrt{9+16}\\
&=\sqrt{25} = 5
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
|\,[\sqrt{2}+\sqrt{6}\,i\,| &= \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{6}\right)^2}\\
&= \sqrt{2+6}\\
&=\sqrt{8}
\end{align*}|\,a+b\,i\,| = \sqrt{a^2+b^2}
\begin{align*}
(3-\,i)^2 &\textcolor{orange}{=3^2-2 \cdot 3 \cdot i + i^2}\\
&= 9-6\,i+(-1)\\
&= 8-6\,i\\\\
|\,8-6\,i\,| &\textcolor{orange}{= |\,8+(-6)\,i\,|}\\
&= \sqrt{8^2+(-6)^2}\\
&= \sqrt{64+36}\\
&=\sqrt{100} = 10
\end{align*}
btakeshi
|\,\alpha\times\beta\,| = |\,\alpha\,| \times |\,\beta\,| を使う方法もあります。別解です。
\begin{align*}
|\,(3-\,i)^2\,| &= |\,(3-\,i) \times (3-i)\,|\\
&= |\,3-i\,| \times |\,3-i\,|\\
&= \sqrt{3^2+(-1)^2} \times \sqrt{3^2+(-1)^2}\\
&= \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10
\end{align*}- 20210522…初版公開。問題数9
