次の点から円に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\begin{align*}
& 接点を\ {\rm P}\left(p,\ q\right)\ とすると,\\
& {\rm P}\ は円上にあるから\\
& \quad\scriptsize\color{red}{\rm P}\ (p,\ q)\ を\ x^{2} + y^{2} = 5\ に代入！\\
& \qquad p^{2} + q^{2} = 5 \quad\cdots\cdots ①\\
\\
& また,\ {\rm P}\ における円の接線の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\colorbox{bisque}{$x$}x+\colorbox{palegreen}{$y$}y=5\ に\ {\rm P}\ \left(\colorbox{bisque}{$p$},\ \colorbox{palegreen}{$q$}\right)\ を代入\\
& \qquad p x + q y = 5 \quad\cdots\cdots ②\\
\\
& で,\ この直線が点\ {\rm A}\left(1,\ 3\right)\ を通るから\\
& \quad\scriptsize\color{red}{\rm A}\left(1,\ 3\right)\ を②に代入して\\
& \qquad p + 3 q = 5 \quad\cdots\cdots ③\\
\\
& \scriptsize\color{red}①,\ ③から\ p\ を消去して整理すると\\
& ③より\ p = 5 - 3 q\quad\cdots\cdots ④\\
& これを①に代入して\\
& \qquad\begin{align*}
\left(5 - 3 q\right)^{2} + q^2 &= 5\\
9 q^{2} - 30 q + 25 + q^2 &= 5\\
10 q^{2} - 30 q + 20 &= 0\\
q^{2} - 3 q + 2 &= 0\\
\left(q - 2\right) \left(q - 1\right) &= 0\\
q &= 2,\ 1\end{align*}\\
& ④に代入して\\
& \quad\begin{array}{lll}
q = 2\ のとき & & p = -1\\
q = 1\ のとき & & p = 2\\
\end{array}\\
\\
& よって,\\
& \quad\begin{array}{crcc}
{\bf 接線} & - x + 2 y = 5 \ & {\bf 接点} & \left(-1,\ 2\right)\\\hline
\\
{\bf 接線} & 2 x + y = 5 \ & {\bf 接点} & \left(2,\ 1\right)\\\hline
\end{array}
\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\begin{align*}
& 接点を\ {\rm P}\left(p,\ q\right)\ とすると,\\
& {\rm P}\ は円上にあるから\\
& \quad\scriptsize\color{red}{\rm P}\ (p,\ q)\ を\ x^{2} + y^{2} = 1\ に代入！\\
& \qquad p^{2} + q^{2} = 1 \quad\cdots\cdots ①\\
\\
& また,\ {\rm P}\ における円の接線の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\colorbox{bisque}{$x$}x+\colorbox{palegreen}{$y$}y=1\ に\ {\rm P}\ \left(\colorbox{bisque}{$p$},\ \colorbox{palegreen}{$q$}\right)\ を代入\\
& \qquad p x + q y = 1 \quad\cdots\cdots ②\\
\\
& で,\ この直線が点\ {\rm A}\left(2,\ 1\right)\ を通るから\\
& \quad\scriptsize\color{red}{\rm A}\left(2,\ 1\right)\ を②に代入して\\
& \qquad 2 p + q = 1 \quad\cdots\cdots ③\\
\\
& \scriptsize\color{red}①,\ ③から\ q\ を消去して整理すると\\
& ③より\ q = 1 - 2 p\quad\cdots\cdots ④\\
& これを①に代入して\\
& \qquad\begin{align*}
p^2 + \left(1 - 2 p\right)^{2} &= 1\\
p^2 + 4 p^{2} - 4 p + 1 &= 1\\
5 p^{2} - 4 p &= 0\\
5 p^{2} - 4 p &= 0\\
p \left(5 p - 4\right) &= 0\\
p &= 0,\ \frac{4}{5}\end{align*}\\
& ④に代入して\\
& \quad\begin{array}{lll}
p = 0\ のとき & & q = 1\\
p = \dfrac{4}{5}\ のとき & & q = - \dfrac{3}{5}\\
\end{array}\\
\\
& よって,\\
& \quad\begin{array}{crcc}
{\bf 接線} & y = 1 \ & {\bf 接点} & \left(0,\ 1\right)\\\hline
\\
{\bf 接線} & 4 x - 3 y = 5 \ & {\bf 接点} & \left(\dfrac{4}{5},\ - \dfrac{3}{5}\right)\\\hline
\end{array}
\end{align*}
