
btakeshi
数学では新しい数を創り出すと最初に,「等しい」を定義します。集合が「等しい」,ベクトルが「等しい」などなど教科書を確認してみてください。たくさん定義されているはずです。では,複素数が「等しい」とはどんなときでしょうか。
Happy Math-ing!!
複素数の相等
a,b,c,d は実数とします。
a+bi = c+di\ \Longleftrightarrow\ a=c,\ b=d
- 実部と実部,虚部と虚部が等しい
- 特に a+bi = 0 のときは,a=0,\ b=0 0=0+0i
実数であることを確認する
x,\ y が実数であるから,x+y,\ x+2 は実数である。
実部と実部,虚部と虚部が等しい
よって 0=0+0i
x+y=0・・・① x+2=0・・・②連立して解く
②より x = -2・・・③
③を①に代入して -2+y=0 すなわち y=2
実数であることを確認する
x,\ y が実数であるから,x-2y,\ 2x-3y は実数である。 もちろん 4,\ 7 も実数
実部と実部,虚部と虚部が等しい
よって
x-2y=4・・・① 2x-3y=7・・・②連立して解く
①✕2より 2x-4y = 8・・・③
②ー③より y=-1・・・④
④を①に代入して x-2(-1)=4 すなわち x=2
練習問題にチャレンジ!
次のような実数 x,\ y を求めよ。
パターン【\ a+b\,i=0\ 】
次のような実数 x,\ y を求めよう。
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【解答】
\def\rp{x+y} \def\ip{x+2} \def\ax{-2} \def\ay{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ (\rp)+(\ip)i &= 0\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\ \\ これを解いて \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\rp{x-3} \def\ip{x+y} \def\ax{3} \def\ay{-3} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ (\rp)+(\ip)i &= 0\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\ \\ これを解いて \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\rp{x-3} \def\ip{y+1} \def\ax{3} \def\ay{-1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ (\rp)+(\ip)i &= 0\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\ \\ これを解いて \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
パターン【\ a+b\,i=c+d\,i\ 】
次のような実数 x,\ y を求めよう。
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【解答】
\def\rp{x-2y} \def\ip{2x-3y} \def\ca{4} \def\cf{+} \def\cb{7} \def\ax{2} \def\ay{-1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\ \\ これを解いて\ \ \ \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
連立方程式を解く部分
\def\sikial{x-2y}\def\sikiar{4} \def\sikibl{2x-3y}\def\sikibr{7} \def\sikicl{2x-4y}\def\sikicr{8} \def\sikidl{2x-3y}\def\sikidr{7} \def\sikiel{-1y}\def\sikier{1} \def\sikifl{y}\def\sikifr{-1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{cases} \sikial = \sikiar & \cdots ①\\ \sikibl = \sikibr & \cdots ② \end{cases} \\ \\ \begin{align*} ① \times 2 - ②より & \\ \sikicl &= \sikicr\\ \sikidl &= \sikidr\\\hline \sikiel &= \sikier\\ \sikifl &= \sikifr\\ \\ これを①に代入 & して\\ x-2(-1) &= 4\\ x+2 &= 4\\ x &= 4-2\\ x &= 2 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\rp{x} \def\ip{y} \def\ca{3} \def\cf{+} \def\cb{4} \def\ax{3} \def\ay{4} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ \colBX{bisque}{$\rp$}+\colBX{palegreen}{$\ip$}\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する} & \colMM{red}{\Rightarrow 必要なし}\\ \color{lightgray}x,\ y\ が実数であるから\\ \color{lightgray}\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & \color{lightgray}は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\rp{x+3y} \def\ip{2x-y} \def\ca{9} \def\cf{+} \def\cb{4} \def\ax{3} \def\ay{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\ \\ これを解いて\ \ \ \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
連立方程式を解く部分
\def\sikial{x+3y}\def\sikiar{9} \def\sikibl{2x-y}\def\sikibr{4} \def\sikicl{2x+6y}\def\sikicr{18} \def\sikidl{2x-y}\def\sikidr{4} \def\sikiel{7y}\def\sikier{14} \def\sikifl{y}\def\sikifr{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{cases} \sikial = \sikiar & \cdots ①\\ \sikibl = \sikibr & \cdots ② \end{cases} \\ \\ \begin{align*} ① \times 2 - ②より & \\ \sikicl &= \sikicr\\ \sikidl &= \sikidr\\\hline \sikiel &= \sikier\\ \sikifl &= \sikifr\\ \\ これを①に代入 & して\\ x+3 \cdot 2 &= 9\\ x+6 &= 9\\ x &= 9-6\\ x &= 3 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\rp{x-y} \def\ip{x-2y} \def\ca{2} \def\cf{-} \def\cb{1} \def\ax{3} \def\ay{1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\ \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\ (\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\ x,\ y\ が実数であるから\\ \colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\ \\ \colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\ よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\ \\ これを解いて\ \ \ \\ x=\ax,\ & y=\ay \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
連立方程式を解く部分
\def\sikial{x-y}\def\sikiar{2} \def\sikibl{x-2y}\def\sikibr{1} \def\sikicl{x-y}\def\sikicr{2} \def\sikidl{x-2y}\def\sikidr{1} \def\sikiel{y}\def\sikier{1} \def\sikifl{y}\def\sikifr{1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{cases} \sikial = \sikiar & \cdots ①\\ \sikibl = \sikibr & \cdots ② \end{cases} \\ \\ \begin{align*} ① - ②より & \\ \sikicl &= \sikicr\\ \sikidl &= \sikidr\\\hline \sikiel &= \sikier\\ \\ これを①に代入 & して\\ x-1 &= 2\\ x &= 2+1\\ x &= 3 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan