btakeshi
数学では新しい数を創り出すと最初に，「等しい」を定義します。集合が「等しい」，ベクトルが「等しい」などなど教科書を確認してみてください。たくさん定義されているはずです。では，複素数が「等しい」とはどんなときでしょうか。
Happy Math-ing!!
複素数の相等
a，b，c，d は実数とします。
a+bi = c+di\ \Longleftrightarrow\ a=c,\ b=d
- 実部と実部，虚部と虚部が等しい
- 特に a+bi = 0 のときは，a=0,\ b=0 0=0+0i
実数であることを確認する
x,\ y が実数であるから，x+y,\ x+2 は実数である。
実部と実部，虚部と虚部が等しい
よって 0=0+0i
x+y=0・・・① x+2=0・・・②連立して解く
②より x = -2・・・③
③を①に代入して -2+y=0 すなわち y=2
実数であることを確認する
x,\ y が実数であるから，x-2y,\ 2x-3y は実数である。 もちろん 4,\ 7 も実数
実部と実部，虚部と虚部が等しい
よって
x-2y=4・・・① 2x-3y=7・・・②連立して解く
①✕２より 2x-4y = 8・・・③
②ー③より y=-1・・・④
④を①に代入して x-2(-1)=4 すなわち x=2
練習問題にチャレンジ！
次のような実数 x,\ y を求めよ。
パターン【\ a+b\,i=0\ 】
次のような実数 x,\ y を求めよう。
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【解答】
\def\rp{x+y}
\def\ip{x+2}
\def\ax{-2}
\def\ay{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
(\rp)+(\ip)i &= 0\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\
\\
これを解いて \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\rp{x-3}
\def\ip{x+y}
\def\ax{3}
\def\ay{-3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
(\rp)+(\ip)i &= 0\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\
\\
これを解いて \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\rp{x-3}
\def\ip{y+1}
\def\ax{3}
\def\ay{-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
(\rp)+(\ip)i &= 0\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$}+\colBX{palegreen}{$0$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = 0$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = 0$}\\
\\
これを解いて \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyanパターン【\ a+b\,i=c+d\,i\ 】
次のような実数 x,\ y を求めよう。
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【解答】
\def\rp{x-2y}
\def\ip{2x-3y}
\def\ca{4}
\def\cf{+}
\def\cb{7}
\def\ax{2}
\def\ay{-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\
\\
これを解いて\ \ \ \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan連立方程式を解く部分
\def\sikial{x-2y}\def\sikiar{4}
\def\sikibl{2x-3y}\def\sikibr{7}
\def\sikicl{2x-4y}\def\sikicr{8}
\def\sikidl{2x-3y}\def\sikidr{7}
\def\sikiel{-1y}\def\sikier{1}
\def\sikifl{y}\def\sikifr{-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{cases}
\sikial = \sikiar & \cdots ①\\
\sikibl = \sikibr & \cdots ②
\end{cases}
\\
\\
\begin{align*}
① \times 2 - ②より & \\
\sikicl &= \sikicr\\
\sikidl &= \sikidr\\\hline
\sikiel &= \sikier\\
\sikifl &= \sikifr\\
\\
これを①に代入 & して\\
x-2(-1) &= 4\\
x+2 &= 4\\
x &= 4-2\\
x &= 2
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\rp{x}
\def\ip{y}
\def\ca{3}
\def\cf{+}
\def\cb{4}
\def\ax{3}
\def\ay{4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
\colBX{bisque}{$\rp$}+\colBX{palegreen}{$\ip$}\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する} & \colMM{red}{\Rightarrow 必要なし}\\
\color{lightgray}x,\ y\ が実数であるから\\
\color{lightgray}\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & \color{lightgray}は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\rp{x+3y}
\def\ip{2x-y}
\def\ca{9}
\def\cf{+}
\def\cb{4}
\def\ax{3}
\def\ay{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\
\\
これを解いて\ \ \ \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan連立方程式を解く部分
\def\sikial{x+3y}\def\sikiar{9}
\def\sikibl{2x-y}\def\sikibr{4}
\def\sikicl{2x+6y}\def\sikicr{18}
\def\sikidl{2x-y}\def\sikidr{4}
\def\sikiel{7y}\def\sikier{14}
\def\sikifl{y}\def\sikifr{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{cases}
\sikial = \sikiar & \cdots ①\\
\sikibl = \sikibr & \cdots ②
\end{cases}
\\
\\
\begin{align*}
① \times 2 - ②より & \\
\sikicl &= \sikicr\\
\sikidl &= \sikidr\\\hline
\sikiel &= \sikier\\
\sikifl &= \sikifr\\
\\
これを①に代入 & して\\
x+3 \cdot 2 &= 9\\
x+6 &= 9\\
x &= 9-6\\
x &= 3
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\rp{x-y}
\def\ip{x-2y}
\def\ca{2}
\def\cf{-}
\def\cb{1}
\def\ax{3}
\def\ay{1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.1}}\ \colMM{red}{実部と虚部に分ける }\\
\colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{ 虚部 \Darr } & \colMM{orange}{実部 \Darr}\colMM{palegreen}{虚部 \Darr}\\
(\colBX{bisque}{$\rp$})+(\colBX{palegreen}{$\ip$})\,i &= \colBX{bisque}{$\ca$}\cf\colBX{palegreen}{$\cb$}\,i\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.2}}\ \colMM{red}{実数であることを確認する}\\
x,\ y\ が実数であるから\\
\colBX{bisque}{$\rp$},\ \colBX{palegreen}{$\ip$}\ & は実数である。\\
\\
\colFR{red}{\colMM{red}{\bf STEP.3}}\ \colMM{red}{実部・虚部をつなぐ }\\
よって \colBX{bisque}{$\rp = \ca$},\ & \colBX{palegreen}{$\ip = \cb$}\\
\\
これを解いて\ \ \ \\
x=\ax,\ & y=\ay
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan連立方程式を解く部分
\def\sikial{x-y}\def\sikiar{2}
\def\sikibl{x-2y}\def\sikibr{1}
\def\sikicl{x-y}\def\sikicr{2}
\def\sikidl{x-2y}\def\sikidr{1}
\def\sikiel{y}\def\sikier{1}
\def\sikifl{y}\def\sikifr{1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{cases}
\sikial = \sikiar & \cdots ①\\
\sikibl = \sikibr & \cdots ②
\end{cases}
\\
\\
\begin{align*}
① - ②より & \\
\sikicl &= \sikicr\\
\sikidl &= \sikidr\\\hline
\sikiel &= \sikier\\
\\
これを①に代入 & して\\
x-1 &= 2\\
x &= 2+1\\
x &= 3
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
