気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で極値をとるならば
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) = 0
例えば,関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるならば
f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = 0
さらに x=\colorbox{mistyrose}{$2$} のとき y=\colorbox{lightcyan}{$-6$} でもあるから
f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = \colorbox{lightcyan}{$-6$}
となります。2つの式があれば,2つの文字を求めることができます。
練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
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【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ!
f(x)=x^3+ax+b を微分するとf'(x) = 3x^2+a
関数 f(x)= x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 -6 をとるから 微分係数 f'(2) が0
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= 0\\ 3\cdot 2^2+a &= 0\\ 12+a &= 0\\ a &= -12 \end{align*}
よって,求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-12x+b
また,関数 f(x)= x^3-12x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるから
\begin{align*} f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= \colorbox{lightcyan}{$-6$}\\ 2^3-12 \cdot 2 +b &= -6\\ 8-24+b &= -6\\ -16+b &= -6\\ b &= -6+16\\ b &= 10 \end{align*}
よって, 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*} f(x) &= x^3-12x+10 \end{align*}
キーワード「極大値」⇒微分せよ!
f'(x) = 3x^2-12
\begin{align*} 3x^2-12 &= 0\\ x^2-4 &= 0\\ x^2 &= 4\\ x &= -2,\ 2 \end{align*}
よって,増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & 26 & \searrow & -6 & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,x=-2 のとき,極大値 26 をとる。
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【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ!
f(x)=x^3+ax^2-9x+b を微分すると
f'(x) = 3x^2+2ax-9
関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 8 をとるから 微分係数 f'(-1) が0
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\ 3(-1)^2+2a(-1)-9 &= 0\\ 3-2a-9 &= 0\\ -2a-6 &= 0\\ -2a &= 6\\ a &= -3 \end{align*}
よって,求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-3x^2-9x+b
また,関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$8$} をとるから
\begin{align*} f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$8$}\\ (-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+b &= 8\\ -1-3+9+b &= 8\\ 5+b &= 8\\ b &= 8-5\\ b &= 3 \end{align*}
よって, 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*} f(x) &= x^3-3x^2-9x+3 \end{align*}
キーワード「極小値」⇒微分せよ!
f'(x) = 3x^2-6x-9
\begin{align*} 3x^2-6x-9 &= 0\\ x^2-2x-3 &= 0\\ (x+1)(x-3) &= 0\\ x &= -1,\ 3 \end{align*}
よって,増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,x=3 のとき,極小値 -24 をとる。
【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ!
f(x)=x^3+ax+b を微分すると
f'(x) = 3x^2+a
関数 f(x)=x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから 微分係数 f'(-1) が0
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\ 3(-1)^2+a &= 0\\ 3+a &= 0\\ a &= -3 \end{align*}
よって,求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-3x+b
また,関数 f(x)=x^3-3x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$4$} をとるから
\begin{align*} f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\ (-1)^3-3(-1)+b &= 4\\ -1+3+b &= 4\\ 2+b &= 4\\ b &= 4-2\\ b &= 2 \end{align*}
よって, 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*} f(x) &= x^3-3x+2 \end{align*}
キーワード「極小値」⇒微分せよ!
f'(x) = 3x^2-3
\begin{align*} 3x^2-3 &= 0\\ x^2-1 &= 0\\ x^2 &= 1\\ x &= -1,\ 1 \end{align*}
よって,増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,x=1 のとき,極小値 0 をとる。
【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ!
f(x)= x^3+ax^2+bx+c を微分すると
f'(x) = 3x^2+2ax+b
関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから 微分係数 f'(-1) が0
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\ 3(-1)^2+2a(-1)+b &= 0\\ 3-2a+b &= 0\\ -2a+b &= -3\\ 2a-b &= 3\ \cdots\ ① \end{align*}
関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$3$} で極小値をとるから 微分係数 f'(3) が0
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$3$}) &= 0\\ 3 \cdot 3^2+2a \cdot 3+b &= 0\\ 27+6a+b &= 0\\ 6a+b &= -27\ \cdots\ ② \end{align*}
②+①より
\begin{array}{rrlrl} 6a & +1b & = & -27 & \cdots ②\\ +)2a & -1b & = & 3 & \cdots ①\\\hline 8a & & = & -24\\ a & & = & -3 & \cdots ③ \end{array}
よって,①より 求めた値 a を式①に代入
\begin{align*} 2 (-3) -b & = 3\\ -6 -b & = 3\\ -b & = 3+6\\ -b & = 9\\ b &= -9 \cdots ④ \end{align*}
よって,③④を関数 f(x) に代入すれば
f(x) = x^3-3x^2-9x+c
関数 f(x)= x^3-3x^2-9x+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから
\begin{align*} f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\ (-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+c &= 4\\ -1-3+9+c &= 4\\ 5+c &= 4\\ c &= 4-5\\ c &= -1 \end{align*}
したがって
\begin{align*} f(x) &= x^3-3x^2-9x-1 \end{align*}
キーワード「極小値」⇒微分せよ!
f'(x) = 3x^2-6x-9
\begin{align*} 3x^2-6x-9 &= 0\\ x^2-2x-3 &= 0\\ (x+1)(x-3) &= 0\\ x &= -1,\ 3 \end{align*}
よって,増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & -26 & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,x=3 のとき,極小値 -28 をとる。
- 20211221…初版公開。問題数4。