気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で極値をとるならば
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) = 0例えば，関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるならば
f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = 0さらに x=\colorbox{mistyrose}{$2$} のとき y=\colorbox{lightcyan}{$-6$} でもあるから
f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = \colorbox{lightcyan}{$-6$}となります。2つの式があれば，2つの文字を求めることができます。
練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
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【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ！
f(x)=x^3+ax+b を微分するとf'(x) = 3x^2+a
関数 f(x)= x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 -6 をとるから 微分係数 f'(2) が０
\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= 0\\
3\cdot 2^2+a &= 0\\
12+a &= 0\\
a &= -12
\end{align*}よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-12x+b
また，関数 f(x)= x^3-12x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるから
\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= \colorbox{lightcyan}{$-6$}\\
2^3-12 \cdot 2 +b &= -6\\
8-24+b &= -6\\
-16+b &= -6\\
b &= -6+16\\
b &= 10
\end{align*}よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*}
f(x) &= x^3-12x+10
\end{align*}キーワード「極大値」⇒微分せよ！
f'(x) = 3x^2-12
\begin{align*}
3x^2-12 &= 0\\
x^2-4 &= 0\\
x^2 &= 4\\
x &= -2,\ 2
\end{align*}よって，増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 26 & \searrow & -6 & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，x=-2 のとき，極大値 26 をとる。
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【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ！
f(x)=x^3+ax^2-9x+b を微分すると
f'(x) = 3x^2+2ax-9
関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 8 をとるから 微分係数 f'(-1) が０
\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+2a(-1)-9 &= 0\\
3-2a-9 &= 0\\
-2a-6 &= 0\\
-2a &= 6\\
a &= -3
\end{align*}よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-3x^2-9x+b
また，関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$8$} をとるから
\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$8$}\\
(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+b &= 8\\
-1-3+9+b &= 8\\
5+b &= 8\\
b &= 8-5\\
b &= 3
\end{align*}よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x^2-9x+3
\end{align*}キーワード「極小値」⇒微分せよ！
f'(x) = 3x^2-6x-9
\begin{align*}
3x^2-6x-9 &= 0\\
x^2-2x-3 &= 0\\
(x+1)(x-3) &= 0\\
x &= -1,\ 3
\end{align*}よって，増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，x=3 のとき，極小値 -24 をとる。
【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ！
f(x)=x^3+ax+b を微分すると
f'(x) = 3x^2+a
関数 f(x)=x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから 微分係数 f'(-1) が０
\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+a &= 0\\
3+a &= 0\\
a &= -3
\end{align*}よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入
f(x) = x^3-3x+b
また，関数 f(x)=x^3-3x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$4$} をとるから
\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\
(-1)^3-3(-1)+b &= 4\\
-1+3+b &= 4\\
2+b &= 4\\
b &= 4-2\\
b &= 2
\end{align*}よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入
\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x+2
\end{align*}キーワード「極小値」⇒微分せよ！
f'(x) = 3x^2-3
\begin{align*}
3x^2-3 &= 0\\
x^2-1 &= 0\\
x^2 &= 1\\
x &= -1,\ 1
\end{align*}よって，増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，x=1 のとき，極小値 0 をとる。
【解答】
キーワード「極大値」⇒微分せよ！
f(x)= x^3+ax^2+bx+c を微分すると
f'(x) = 3x^2+2ax+b
関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから 微分係数 f'(-1) が０
\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+2a(-1)+b &= 0\\
3-2a+b &= 0\\
-2a+b &= -3\\
2a-b &= 3\ \cdots\ ①
\end{align*}関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$3$} で極小値をとるから 微分係数 f'(3) が０
\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$3$}) &= 0\\
3 \cdot 3^2+2a \cdot 3+b &= 0\\
27+6a+b &= 0\\
6a+b &= -27\ \cdots\ ②
\end{align*}②＋①より
\begin{array}{rrlrl}
6a & +1b & = & -27 & \cdots ②\\
+）2a & -1b & = & 3 & \cdots ①\\\hline
8a & & = & -24\\
a & & = & -3 & \cdots ③
\end{array}よって，①より 求めた値 a を式①に代入
\begin{align*}
2 (-3) -b & = 3\\
-6 -b & = 3\\
-b & = 3+6\\
-b & = 9\\
b &= -9 \cdots ④
\end{align*}よって，③④を関数 f(x) に代入すれば
f(x) = x^3-3x^2-9x+c
関数 f(x)= x^3-3x^2-9x+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから
\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\
(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+c &= 4\\
-1-3+9+c &= 4\\
5+c &= 4\\
c &= 4-5\\
c &= -1
\end{align*}したがって
\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x^2-9x-1
\end{align*}キーワード「極小値」⇒微分せよ！
f'(x) = 3x^2-6x-9
\begin{align*}
3x^2-6x-9 &= 0\\
x^2-2x-3 &= 0\\
(x+1)(x-3) &= 0\\
x &= -1,\ 3
\end{align*}よって，増減表は下のようになる。
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & -26 & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，x=3 のとき，極小値 -28 をとる。
- 20211221…初版公開。問題数４。
