練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
【解答】
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} \colMM{red}{代入が} & \colMM{red}{便利だから}\\ f(x) = x^3-3x^2+3 と & おく。\\ \colMM{red}{微分係} & \colMM{red}{数の正負を調べるために}\\ f'(x) = 3x^2-6x \ &\\ \colMM{red}{正負の} & \colMM{red}{境を見つけるために}\\ \colBX{bisque}{$f'(x)=0$} とすると & \colMM{orange}{\Rightarrow 2段目へ}\\ 3x^2-6x &= 0\\ x^2 -2x&= 0\\ x(x-2) &= 0\\ x &= \colBX{palegreen}{$0$},\ \colBX{palegreen}{$2$} \colMM{green}{\Rightarrow 1段へ}\\ \colMM{red}{増加す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\ \colBX{violet}{$f'(x)>0$} とすると\\ 3x^2-6x &> 0\\ x^2 -2x&> 0\\ x(x-2) &> 0\\ x<\colBX{palegreen}{$0$},\ \colBX{palegreen}{$2$} &< x \colMM{purple}{\Rightarrow 2段「+」3段「\nearrow」}\\ \colMM{red}{減少す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\ \colBX{lightcyan}{$f'(x)<0$} とすると\\ 3x^2-6x &< 0\\ x^2 -2x&< 0\\ x(x-2) &< 0\\ \colBX{palegreen}{$0$} < x &< \colBX{palegreen}{$2$}\ \colMM{deepskyblue}{\Rightarrow 2段「-」3段「\searrow」}\\ \colMM{red}{3段目} & \colMM{red}{の値を計算する}\\ f(\colBX{palegreen}{$0$}) =& 0^3-3 \cdot 0^2 + 3 = 3\\ f(\colBX{palegreen}{$2$}) =& 2^3-3 \cdot 2^2 + 3 = -1\\ \\ \colMM{red}{準備完} & \colMM{red}{了!増減表を書く!} \end{align*}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & \colBX{palegreen}{$0$} & \cdots & \colBX{palegreen}{$2$} & \cdots \\\hline f'(x) & \colBX{violet}{$+$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{lightcyan}{$-$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{violet}{$+$}\\\hline f(x) & \colBX{violet}{$\nearrow$} & \substack{極大\\3} & \colBX{lightcyan}{$\searrow$} & \substack{極小\\-1} & \colBX{violet}{$\nearrow$}\\\hline \end{array}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} したがって,\ f(x)\ は \\ \\ x=0\ で\ 極大 &値\ 3\\ x=2\ で\ 極小 &値\ -1\\ \end{align*}
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【解答】
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} \colMM{red}{代入が} & \colMM{red}{便利だから}\\ f(x) = x^3-6x^2+9x と & おく。\\ \colMM{red}{微分係} & \colMM{red}{数の正負を調べるために}\\ f'(x) = 3x^2-12x+9 \ &\\ \colMM{red}{正負の} & \colMM{red}{境を見つけるために}\\ \colBX{bisque}{$f'(x)=0$} とすると & \colMM{orange}{\Rightarrow 2段目へ}\\ 3x^2-12x+9 &= 0\\ x^2 -4x+3 &= 0\\ (x-1)(x-3) &= 0\\ x &= \colBX{palegreen}{$1$},\ \colBX{palegreen}{$3$} \colMM{green}{\Rightarrow 1段へ}\\ \colMM{red}{増加す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\ \colBX{violet}{$f'(x)>0$} とすると\\ 3x^2-12x+9 &> 0\\ x^2 -4x+3 &> 0\\ (x-1)(x-3) &> 0\\ x<\colBX{palegreen}{$1$},\ \colBX{palegreen}{$3$} &< x \colMM{purple}{\Rightarrow 2段「+」3段「\nearrow」}\\ \colMM{red}{減少す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\ \colBX{lightcyan}{$f'(x)<0$} とすると\\ 3x^2-12x+9 &< 0\\ x^2 -4x+3 &< 0\\ (x-1)(x-3) &< 0\\ \colBX{palegreen}{$1$} < x &< \colBX{palegreen}{$3$}\ \colMM{deepskyblue}{\Rightarrow 2段「-」3段「\searrow」}\\ \colMM{red}{3段目} & \colMM{red}{の値を計算する}\\ f(\colBX{palegreen}{$1$}) =& 1^3-6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1\\ =& 1-6+9 = 4\\ f(\colBX{palegreen}{$3$}) =& 3^3-6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3\\ =& 27-54+27 = 0\\ \\ \colMM{red}{準備完} & \colMM{red}{了!増減表を書く!} \end{align*}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline x & \cdots & \colBX{palegreen}{$1$} & \cdots & \colBX{palegreen}{$3$} & \cdots \\\hline f'(x) & \colBX{violet}{$+$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{lightcyan}{$-$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{violet}{$+$}\\\hline f(x) & \colBX{violet}{$\nearrow$} & \substack{極大\\4} & \colBX{lightcyan}{$\searrow$} & \substack{極小\\0} & \colBX{violet}{$\nearrow$}\\\hline \end{array}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} したがって,\ f(x)\ は\\ \\ x=1\ で &\ 極大値\ 4\\ x=3\ で &\ 極小値\ 0\\ \end{align*}
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