【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き + グラフ上の点!
接線の傾き=微分係数 ⇒ 導関数が必要!
y=x^2+3 を微分するとy' = \colorbox{lightgreen}{$2x$}
グラフ上の点 ⇒ x=a とする!
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2+3$}
接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2+3$}) とすると,接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a$} となるから,その方程式は
\begin{align*} y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2+3)$} &= \colorbox{lightgreen}{$2a$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\ y-a^2-3 &= 2ax-2a^2\\ y &= 2ax-2a^2+a^2+3\\ y &= 2ax-a^2+3\ \cdots ① \end{align*}
この直線が点 {\rm C}(1,\ 0) を通るから代入!
\begin{align*} 0 &= 2a \cdot 1-a^2+3\\ a^2-2a-3 &= 0\\ (a+1)(a-3) &= 0\\ a &= -1,\ 3 \end{align*}
したがって,求める接線の方程式は,①より
a=-1 のとき\def\valA{(-1)} \begin{align*} y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+3\\ &= -2x-1+3\\ &= -2x+2 \end{align*}
\def\valA{3} \begin{align*} y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+3\\ &= 6x-9+3\\ &= 6x-6 \end{align*}
(答)y=-2x+2,y=6x-6
【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き + グラフ上の点!
接線の傾き=微分係数 ⇒ 導関数が必要!
y=x^2-2x+4 を微分するとy' = \colorbox{lightgreen}{$2x-2$}
グラフ上の点 ⇒ x=a とする!
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2-2a+4$}
接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2-2a+4$}) とすると,接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a-2$} となるから,その方程式は
\begin{align*} y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2-2a+4)$} &= \colorbox{lightgreen}{$(2a-2)$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\ y-a^2+2a-4 &= (2a-2)x-(2a-2)a\\ y-a^2+2a-4 &= (2a-2)x-2a^2+2a\\ y &= (2a-2)x-2a^2+2a +a^2-2a+4\\ y &= (2a-2)x-a^2+4\ \cdots ① \end{align*}
この直線が原点 {\rm O}(0,\ 0) を通るから代入!
\begin{align*} 0 &= (2a-2) \cdot 0-a^2+4\\ a^2 &= 4\\ a &= \pm\sqrt{4}\\ a &= -2,\ 2 \end{align*}
したがって,求める接線の方程式は,①より
a=-2 のとき\def\valA{(-2)} \begin{align*} y &= \{2 \cdot \valA -2\} x - \valA^2+4\\ &= -6x-4+4\\ &= -6x \end{align*}
\def\valA{2} \begin{align*} y &= (2 \cdot \valA -2) x - \valA^2+4\\ &= 2x-4+4\\ &= 2x \end{align*}
(答)y=2x,y=-6x
【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き + グラフ上の点!
接線の傾き=微分係数 ⇒ 導関数が必要!
y=x^2+1 を微分するとy' = \colorbox{lightgreen}{$2x$}
グラフ上の点 ⇒ x=a とする!
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2+1$}
接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2+1$}) とすると,接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a$} となるから,その方程式は
\begin{align*} y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2+1)$} &= \colorbox{lightgreen}{$2a$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\ y-a^2-1 &= 2ax-2a^2\\ y &= 2ax-2a^2+a^2+1\\ y &= 2ax-a^2+1\ \cdots ① \end{align*}
この直線が点 {\rm C}(2,\ 1) を通るから代入!
\begin{align*} 1 &= 2a \cdot 2-a^2+1\\ a^2-4a &= 0\\ a(a-4) &= 0\\ a &= 0,\ 4 \end{align*}
したがって,求める接線の方程式は,①より
a=0 のとき\def\valA{0} \begin{align*} y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+1\\ &= 1 \end{align*}
\def\valA{4} \begin{align*} y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+1\\ &= 8x-16+1\\ &= 8x-15 \end{align*}
(答)y=1,y=8x-15