定義に従って導関数を求めよう

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btakeshi
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微分係数を求める計算は大変です。ちょっと工夫して，微分係数を導く関数というものを考えてみましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

f(x)=x^2 の x=a における微分係数は

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{2ah+h^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h(2a+h)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ (2a+h) = 2\colorbox{mistyrose}{$a$}\\
\end{align*}

この結果を利用して

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= 2 \colorbox{mistyrose}{$a$}\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$4$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$4$} & &= 8\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$0$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$0$} & &= 0\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$-2$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$(-2)$} & &= -4\\
\end{align*}

関数 f(x) において，x のとる各値 a に対して微分係数 f'(a) を対応させると，x の関数になります。

\begin{array}{c}
1 & \Longrightarrow & f'(1)\\
2 & \Longrightarrow & f'(2)\\
& \vdots & \\
a & \Longrightarrow & f'(a)\\
\color{red}x & \color{red}\Longrightarrow & \color{red}f'(x)
\end{array}

このようにして得られた新しい関数を，もとの関数 f(x) の 導関数 といい， f'(x) と表します。

f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}

※導関数を求める際には，先に \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} と \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} を計算しておくとミスが減ります。

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

導関数の定義にしたがって，次の関数の導関数を求めよ。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【準備】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colBX{bisque}{$f(x+h)$} &= x+h\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(x+h)}
\def\fx{x}
\def\sa{h}
\def\yakubun{1}
\def\kotae{1}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3\\
&= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x^3
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}
\def\fx{x^3}
\def\sa{3x^2h+3xh^2+h^3}
\def\sain{h(3x^2+3xh+h^2)}
\def\yakubun{(3x^2+3xh+h^2)}
\def\kotae{3x^2}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr}　　　　　　 \colMM{green}{準備を参照 \Darr}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sain}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】※定数関数！x の値に関わらず常に定数 2

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 2\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 2
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{2}
\def\fx{2}
\def\sa{0}
\def\yakubun{0}
\def\kotae{0}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 3(x+h)\\
&= 3x+3h\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 3x
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(3x+3h)}
\def\fx{3x}
\def\sa{3h}
\def\yakubun{3}
\def\kotae{3}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -(x+h)^2\\
&= -(x^2+2xh+h^2)\\
&= -x^2-2xh-h^2\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -x^2
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-x^2-2xh-h^2)-(-x^2)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{-2xh-h^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(-2x-h)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-2x\ \colorbox{lightgreen}{$-h$})\\
\\
&= -2x
\end{align*}

【準備】※定数関数！x の値に関わらず常に定数 4

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= 4\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= 4
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{4-4}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{0}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ 0\\
\\
&= 0
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -3(x+h)+4\\
&= -3x-3h+4\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -3x+4
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-3x-3h+4)-(-3x+4)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-3h}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-3)\\
\\
&= -3
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2+2(x+h)+1\\
&= (x^2+2xh+h^2)+2x+2h+1\\
&= x^2+2x+1+2xh+h^2+2h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2+2x+1
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2+2x+1+2xh+h^2+2h)-(x^2+2x+1)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2+2h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h+2)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}+2)\\
\\
&= 2x+2
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2-3(x+h)+5\\
&= (x^2+2xh+h^2)-3x-3h+5\\
&= x^2-3x+5+2xh+h^2-3h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2-3x+5
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2-3x+5+2xh+h^2-3h)-(x^2-3x+5)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2-3h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h-3)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}-3)\\
\\
&= 2x-3
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3-(x+h)\\
&= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h\\
&= x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^3-x
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h)-(x^3-x)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}(3x^2\ \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle +3xh+h^2$}-1)\\
\\
&= 3x^2-1
\end{align*}

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