M>0,N>0 で,k は実数とする。
- \log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N
- \log_{a}\dfrac{M}{N} = \log_{a}M – \log_{a}N
- \log_{a}{M}^{k} = k\log_{a}M
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \log_{a}M=p,\ &\log_{a}N=q とすると\\ & \colMM{orange}{右辺に\ \log_{a}a\ をつけて揃える}\\ \log_{a}M=& \colBX{palegreen}{$p$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\ \log_{a}N=\colBX{palegreen}{$q$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\\ & \colMM{green}{\log\ の前の数を肩に乗せる}\\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,M=& \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}},\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,N=\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\ & \colMM{magenta}{そろった!\log_{a}\ をとる}\\ &M=a^p,\ N=a^q\\ よって \\ MN &= a^p \times a^q\\ したがって & \colMM{deepskyblue}{\log_{a}\ をつけて左辺から証明開始}\\ \colBX{lightcyan}{$\log_{a}$}MN &= \log_{a}(a^p \colBX{bisque}{$\times$} a^q)\\ & \colMM{orange}{かけ算を足し算に分解!}\\ &= \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}} \colBX{bisque}{$+$} \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\ & \colMM{green}{肩の数を\ \log\ の前におろす}\\ &= \colBX{palegreen}{$p$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$} + \colBX{palegreen}{$q$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$}\\ & \colMM{magenta}{\log_{a}a=1}\\ &= p+q\\ & \colMM{red}{1行目で置き換える!完成!}\\ &= \log_{a}M + \log_{a}N \colMM{pink}{\cdots(Q.E.D)} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \log_{a}M=p,\ &\log_{a}N=q とすると\\ & \colMM{orange}{右辺に\ \log_{a}a\ をつけて揃える}\\ \log_{a}M=& \colBX{palegreen}{$p$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\ \log_{a}N=\colBX{palegreen}{$q$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\\ & \colMM{green}{\log\ の前の数を肩に乗せる}\\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,M=& \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}},\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,N=\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\ & \colMM{magenta}{そろった!\log_{a}\ をとる}\\ &M=a^p,\ N=a^q\\ よって \\ \dfrac{M}{N} &= a^p \div a^q\\ したがって & \colMM{deepskyblue}{\log_{a}\ をつけて左辺から証明開始}\\ \colBX{lightcyan}{$\log_{a}$}\dfrac{M}{N} &= \log_{a}(a^p \colBX{bisque}{$\div$} a^q)\\ & \colMM{orange}{割り算を引き算に分解!}\\ &= \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}} \colBX{bisque}{$-$} \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\ & \colMM{green}{肩の数を\ \log\ の前におろす}\\ &= \colBX{palegreen}{$p$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$} - \colBX{palegreen}{$q$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$}\\ & \colMM{magenta}{\log_{a}a=1}\\ &= p-q\\ & \colMM{red}{1行目で置き換える!完成!}\\ &= \log_{a}M - \log_{a}N \colMM{pink}{\cdots(Q.E.D)} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
ここまでの公式を振り返り
a>0,a \neq 1 で M>0 とするとき,次が成り立つ。
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \large \begin{align*} & \colMM{red}{ 指数 \Darr}\\ \colBX{bisque}{$M$} &= \colBX{mistyrose}{$a$}^{\,\colBX{palegreen}{$\small p$}}\\ & \color{red}\Updownarrow\\ \colBX{mistyrose}{$\log_{a}$}\,\colBX{bisque}{$M$} &= \colBX{palegreen}{$p$}\\ \colMM{red}{\Uarr 対数 } \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \log_{a}M &= p とすると\\ & \colMM{red}{振り返り公式を下から上に利用!}\\ M &= a^p\\ よって \\ \colBX{bisque}{$M^k$} &= (a^p)^k = \colBX{mistyrose}{$a$}\,^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize pk$}}\\ \\ したがって & \colMM{red}{振り返り公式を上から下に利用!}\\ \colBX{mistyrose}{$\log_{a}$}\,\colBX{bisque}{$M^k$} &= \colBX{palegreen}{$pk$}\\ & \colMM{red}{1行目で置き換える!完成!}\\ &= k\log_{a}M\colMM{pink}{ \cdots(Q.E.D)} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
2項
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【解答】
\def\MondaiB{10} \def\MondaiSa{2} \def\MondaiSb{5} \def\MondaiS{10} \def\Kotae{1} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}} & \colMM{orange}{\Rightarrow 1つにまとめたい!}\\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$+$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\times$}\ \MondaiSb)}\\ \colMM{red}{たし算を} & \colMM{red}{かけ算に}\\ &=\colFR{green}{$\log_{\MondaiB}\MondaiS$}\ \colMM{green}{そろった!}\\ & \colMM{green}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\ &= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}} \end{align*}
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【解答】
\def\MondaiB{2} \def\MondaiSa{24} \def\MondaiSb{3} \def\MondaiS{8} \def\Kotae{3} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}} & \colMM{orange}{\Rightarrow 1つにまとめたい!}\\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$-$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\div$}\ \MondaiSb)}\\ \colMM{red}{ひき算を} & \colMM{red}{わり算に}\\ &= \log_{\MondaiB}\dfrac{\MondaiSa}{\MondaiSb}\\ \\ &= \log_{2}{\MondaiS}\\ & \colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす!}\\ &= \log_{2}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\ & \colMM{purple}{\swarrow おろす}\\ &= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった!}\\ & \colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\ &= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}} \end{align*}
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【解答】
\def\MondaiB{6} \def\MondaiSa{3} \def\MondaiSb{12} \def\MondaiS{36} \def\Kotae{2} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}} & \colMM{orange}{\Rightarrow 1つにまとめたい!}\\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$+$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\times$}\ \MondaiSb)}\\ \colMM{red}{たし算を} & \colMM{red}{かけ算に}\\ &= \log_{\MondaiB}\MondaiS\\ & \colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす!}\\ &= \log_{2}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\ & \colMM{purple}{\swarrow おろす}\\ &= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった!}\\ & \colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\ &= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}} \end{align*}
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【解答】
\def\MondaiB{3} \def\MondaiSa{2} \def\MondaiSb{18} \def\MondaiS{\dfrac{1}{9}} \def\Kotae{-2} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}} & \colMM{orange}{\Rightarrow 1つにまとめたい!}\\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$-$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\div$}\ \MondaiSb)}\\ \colMM{red}{ひき算を} & \colMM{red}{わり算に}\\ &= \log_{\MondaiB}\dfrac{\MondaiSa}{\MondaiSb}\\ \\ &= \log_{\MondaiB}{\MondaiS}\\ & \colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす!}\\ &= \log_{\MondaiB}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\ & \colMM{purple}{\swarrow おろす}\\ &= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった!}\\ & \colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\ &= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}} \end{align*}
3項
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【解答】
\def\Base{3} \def\Keisu{2} \def\Sa{4} \def\Sb{5} \def\Sc{8} % \def\Kotae{\log_{3}{10}} % \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \colMM{orange}{ \log_{3}\ 揃ったけど・・・}\\ & \colBX{palegreen}{$\Keisu$}\,\colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sa} + \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sb} - \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sc}\\ & \colMM{green}{ \searrow 前の数を肩に}\\ &= \log_{\Base}{\Sa^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize\Keisu$}}} + \log_{\Base}{\Sb} - \log_{\Base}{\Sc}\\ & \colMM{orange}{ 1つにまとめる}\\ &= \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}{\Sa^{\Keisu} \times \Sb \div \Sc}\\ & \colMM{lightgray}{ \swarrow\div◯\ は分母に}\\ &= \log_{\Base}\dfrac{\Sa^{\Keisu} \times \Sb}{\Sc}\\ \\ &= \Kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\Base{3} \def\Keisu{3} \def\Sa{4} \def\Sb{18} \def\Sc{2} % \def\Kotae{\log_{3}{9}\\\\&=\log_{3}3^2=2} % \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \colMM{orange}{ \log_{3}\ 揃ったけど・・・}\\ & \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sa} + \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sb} - \colBX{palegreen}{$\Keisu$}\,\colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sc}\\ & \colMM{green}{ 前の数を肩に \searrow}\\ &= \log_{\Base}{\Sa} + \log_{\Base}{\Sb} - \log_{\Base}{\Sc^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize\Keisu$}}}\\ & \colMM{orange}{ 1つにまとめる}\\ &= \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}{\Sa \times \Sb \div \Sc^{\Keisu}}\\ & \colMM{lightgray}{ \swarrow\div◯\ は分母に}\\ &= \log_{\Base}\dfrac{\Sa \times \Sb}{\Sc^{\Keisu}}\\ \\ &= \Kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan