対数の基本的な計算を身につけよう

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M>0，N>0 で，k は実数とする。

  • \log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N
  • \log_{a}\dfrac{M}{N} = \log_{a}M – \log_{a}N
  • \log_{a}{M}^{k} = k\log_{a}M
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\log_{a}M=p,\ &\log_{a}N=q とすると\\
& \colMM{orange}{右辺に\ \log_{a}a\ をつけて揃える}\\
\log_{a}M=& \colBX{palegreen}{$p$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\ \log_{a}N=\colBX{palegreen}{$q$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\\
& \colMM{green}{\log\ の前の数を肩に乗せる}\\
\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,M=& \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}},\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,N=\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\
& \colMM{magenta}{そろった！\log_{a}\ をとる}\\
&M=a^p,\ N=a^q\\
よって　　　 \\
MN &= a^p \times a^q\\
したがって　 & \colMM{deepskyblue}{\log_{a}\ をつけて左辺から証明開始}\\
\colBX{lightcyan}{$\log_{a}$}MN &= \log_{a}(a^p \colBX{bisque}{$\times$} a^q)\\
& \colMM{orange}{かけ算を足し算に分解！}\\
&= \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}} \colBX{bisque}{$+$} \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\
& \colMM{green}{肩の数を\ \log\ の前におろす}\\
&= \colBX{palegreen}{$p$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$} + \colBX{palegreen}{$q$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$}\\
& \colMM{magenta}{\log_{a}a=1}\\
&= p+q\\
& \colMM{red}{１行目で置き換える！完成！}\\
&= \log_{a}M + \log_{a}N　\colMM{pink}{\cdots(Q.E.D)}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\log_{a}M=p,\ &\log_{a}N=q とすると\\
& \colMM{orange}{右辺に\ \log_{a}a\ をつけて揃える}\\
\log_{a}M=& \colBX{palegreen}{$p$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\ \log_{a}N=\colBX{palegreen}{$q$}\,\colBX{bisque}{$\log_{a}a$}\\
& \colMM{green}{\log\ の前の数を肩に乗せる}\\
\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,M=& \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}},\ \colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,N=\colFR{magenta}{$\log_{a}$}\,a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\
& \colMM{magenta}{そろった！\log_{a}\ をとる}\\
&M=a^p,\ N=a^q\\
よって　　　 \\
\dfrac{M}{N} &= a^p \div a^q\\
したがって　 & \colMM{deepskyblue}{\log_{a}\ をつけて左辺から証明開始}\\
\colBX{lightcyan}{$\log_{a}$}\dfrac{M}{N} &= \log_{a}(a^p \colBX{bisque}{$\div$} a^q)\\
& \colMM{orange}{割り算を引き算に分解！}\\
&= \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize p$}} \colBX{bisque}{$-$} \log_{a}a^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize q$}}\\
& \colMM{green}{肩の数を\ \log\ の前におろす}\\
&= \colBX{palegreen}{$p$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$} - \colBX{palegreen}{$q$}\,\colFR{magenta}{$\log_{a}a$}\\
& \colMM{magenta}{\log_{a}a=1}\\
&= p-q\\
& \colMM{red}{１行目で置き換える！完成！}\\
&= \log_{a}M - \log_{a}N　\colMM{pink}{\cdots(Q.E.D)}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

ここまでの公式を振り返り

a>0，a \neq 1 で M>0 とするとき，次が成り立つ。

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\large
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　指数 \Darr}\\
\colBX{bisque}{$M$} &= \colBX{mistyrose}{$a$}^{\,\colBX{palegreen}{$\small p$}}\\
& \color{red}\Updownarrow\\
\colBX{mistyrose}{$\log_{a}$}\,\colBX{bisque}{$M$} &= \colBX{palegreen}{$p$}\\
\colMM{red}{\Uarr 対数　　}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\log_{a}M &= p とすると\\
& \colMM{red}{振り返り公式を下から上に利用！}\\
M &= a^p\\
よって　　　 \\
\colBX{bisque}{$M^k$} &= (a^p)^k = \colBX{mistyrose}{$a$}\,^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize pk$}}\\
\\
したがって　 & \colMM{red}{振り返り公式を上から下に利用！}\\
\colBX{mistyrose}{$\log_{a}$}\,\colBX{bisque}{$M^k$} &= \colBX{palegreen}{$pk$}\\
& \colMM{red}{１行目で置き換える！完成！}\\
&= k\log_{a}M\colMM{pink}{　　\cdots(Q.E.D)}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

２項

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\MondaiB{10}
\def\MondaiSa{2}
\def\MondaiSb{5}
\def\MondaiS{10}
\def\Kotae{1}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}}　　 & 　\colMM{orange}{\Rightarrow １つにまとめたい！}\\
\colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$+$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\times$}\ \MondaiSb)}\\
\colMM{red}{たし算を}　　　 & 　　　　\colMM{red}{かけ算に}\\
&=\colFR{green}{$\log_{\MondaiB}\MondaiS$}\ \colMM{green}{そろった！}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\
&= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}}
\end{align*}

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【解答】

\def\MondaiB{2}
\def\MondaiSa{24}
\def\MondaiSb{3}
\def\MondaiS{8}
\def\Kotae{3}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}}　　 & 　\colMM{orange}{\Rightarrow １つにまとめたい！}\\
\colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$-$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\div$}\ \MondaiSb)}\\
\colMM{red}{ひき算を}　　　 & 　　　　\colMM{red}{わり算に}\\
&= \log_{\MondaiB}\dfrac{\MondaiSa}{\MondaiSb}\\
\\
&= \log_{2}{\MondaiS}\\
& 　　　\colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす！}\\
&= \log_{2}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\
& 　　　\colMM{purple}{\swarrow おろす}\\
&= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった！}\\
& 　　\colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\
&= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}}
\end{align*}

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【解答】

\def\MondaiB{6}
\def\MondaiSa{3}
\def\MondaiSb{12}
\def\MondaiS{36}
\def\Kotae{2}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}}　　 & 　\colMM{orange}{\Rightarrow １つにまとめたい！}\\
\colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$+$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\times$}\ \MondaiSb)}\\
\colMM{red}{たし算を}　　　 & 　　　　\colMM{red}{かけ算に}\\
&= \log_{\MondaiB}\MondaiS\\
& 　　　\colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす！}\\
&= \log_{2}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\
& 　　　\colMM{purple}{\swarrow おろす}\\
&= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった！}\\
& 　　\colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\
&= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}}
\end{align*}

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【解答】

\def\MondaiB{3}
\def\MondaiSa{2}
\def\MondaiSb{18}
\def\MondaiS{\dfrac{1}{9}}
\def\Kotae{-2}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\log_{\MondaiB} と \log_{\MondaiB}}　　 & 　\colMM{orange}{\Rightarrow １つにまとめたい！}\\
\colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$-$}\ \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}\MondaiSb &= \colBX{bisque}{$\log_{\MondaiB}$}{(\MondaiSa\ \colBX{mistyrose}{$\div$}\ \MondaiSb)}\\
\colMM{red}{ひき算を}　　　 & 　　　　\colMM{red}{わり算に}\\
&= \log_{\MondaiB}\dfrac{\MondaiSa}{\MondaiSb}\\
\\
&= \log_{\MondaiB}{\MondaiS}\\
& 　　　\colMM{green}{\Darr\ 〇^{▲}\ になおす！}\\
&= \log_{\MondaiB}{\MondaiB^{\colBX{violet}{$\scriptsize\Kotae$}}}\\
& 　　　\colMM{purple}{\swarrow おろす}\\
&= \colBX{violet}{$\Kotae$}\ \colFR{deepskyblue}{$\log_{\MondaiB}\MondaiB$}\ \colMM{deepskyblue}{そろった！}\\
& 　　\colMM{deepskyblue}{\Darr\ \log_{a}{a}=1}\\
&= \Kotae \colMM{red}{\ \cdots\ \fbox{\tiny\bf 答}}
\end{align*}

３項

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【解答】

\def\Base{3}
\def\Keisu{2}
\def\Sa{4}
\def\Sb{5}
\def\Sc{8}
%
\def\Kotae{\log_{3}{10}}
%
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{　　　\log_{3}\ 揃ったけど・・・}\\
& \colBX{palegreen}{$\Keisu$}\,\colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sa} + \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sb} - \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sc}\\
& \colMM{green}{　　\searrow 前の数を肩に}\\
&= \log_{\Base}{\Sa^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize\Keisu$}}} + \log_{\Base}{\Sb} - \log_{\Base}{\Sc}\\
& \colMM{orange}{　　１つにまとめる}\\
&= \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}{\Sa^{\Keisu} \times \Sb \div \Sc}\\
& \colMM{lightgray}{　　　　　　　　　\swarrow\div◯\ は分母に}\\
&= \log_{\Base}\dfrac{\Sa^{\Keisu} \times \Sb}{\Sc}\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\Base{3}
\def\Keisu{3}
\def\Sa{4}
\def\Sb{18}
\def\Sc{2}
%
\def\Kotae{\log_{3}{9}\\\\&=\log_{3}3^2=2}
%
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{　　　\log_{3}\ 揃ったけど・・・}\\
& \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sa} + \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sb} - \colBX{palegreen}{$\Keisu$}\,\colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}\,{\Sc}\\
& \colMM{green}{　　　　　　　　前の数を肩に \searrow}\\
&= \log_{\Base}{\Sa} + \log_{\Base}{\Sb} - \log_{\Base}{\Sc^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize\Keisu$}}}\\
& \colMM{orange}{　　１つにまとめる}\\
&= \colBX{bisque}{$\log_{\Base}$}{\Sa \times \Sb \div \Sc^{\Keisu}}\\
& \colMM{lightgray}{　　　　　　　　　\swarrow\div◯\ は分母に}\\
&= \log_{\Base}\dfrac{\Sa \times \Sb}{\Sc^{\Keisu}}\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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