何度も解いて体で覚えましょう!
0 \leqq \theta < 2\pi のとき,次の不等式を解け。
【解答】
\sin,\ \cos 混合⇒次数低い \sin に揃える!
\begin{align*} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1\ より\\ \cos^2\theta &= 1-\sin^2\theta \end{align*}
方程式を変形すると
\begin{align*} 5\sin\theta -2\colorbox{mistyrose}{$\cos^2\theta$} +4 &=0\\ 5\sin\theta -2 (\colorbox{mistyrose}{$1-\sin^2\theta$})+4 &= 0\\ 5\sin\theta-2+2\sin^2\theta+4 &= 0\\ 2\sin^2\theta+5\sin\theta+2 &= 0\\ \color{red}\scriptsize 2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)\\ (2\sin\theta+1)(\sin\theta+2) &= 0\\ \color{orange}2\sin\theta+1=0, & \color{orange}\sin\theta+2=0\\ \color{orange}\sin\theta = -\dfrac12, & \color{orange}\sin\theta = -2\\ \\ 0 \leqq \theta < 2\pi のとき, & -1 \leqq \sin\theta \leqq 1 より\\ \sin\theta &= -\dfrac12 \end{align*}
\theta = \dfrac76\pi,\ \dfrac{11}{6}\pi
【解答】
\sin,\ \cos 混合⇒次数低い \sin に揃える!
\begin{align*} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1\ より\\ \cos^2\theta &= 1-\sin^2\theta \end{align*}
方程式を変形すると
\begin{align*} 2\colorbox{mistyrose}{$\cos^2\theta$} +5\sin\theta -4 &=0\\ 2 (\colorbox{mistyrose}{$1-\sin^2\theta$})+5\sin\theta-4 &= 0\\ 2-2\sin^2\theta+5\sin\theta-4 &= 0\\ -2\sin^2\theta+5\sin\theta-2 &= 0\\ 2\sin^2\theta-5\sin\theta+2 &= 0\\ \color{red}\scriptsize 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)\\ (2\sin\theta-1)(\sin\theta-2) &= 0\\ \color{orange}2\sin\theta-1=0, & \color{orange}\sin\theta-2=0\\ \color{orange}\sin\theta = \dfrac12, & \color{orange}\sin\theta = 2\\\\ 0 \leqq \theta < 2\pi のとき, & -1 \leqq \sin\theta \leqq 1 より\\ \sin\theta &= \dfrac12 \end{align*}
\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi
【解答】
\sin,\ \cos 混合⇒次数低い \cos に揃える!
\begin{align*} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1\ より\\ \sin^2\theta &= 1-\cos^2\theta \end{align*}
方程式を変形すると
\begin{align*} 2\colorbox{mistyrose}{$\sin^2\theta$} +\cos\theta -1 &=0\\ 2 (\colorbox{mistyrose}{$1-\cos^2\theta$})+\cos\theta-1 &= 0\\ 2-2\cos^2\theta+\cos\theta-1 &= 0\\ -2\cos^2\theta+\cos\theta+1 &= 0\\ 2\cos^2\theta-\cos\theta-1 &= 0\\ \color{red}\scriptsize 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)\\ (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1) &= 0\\ \color{orange}2\cos\theta+1=0, & \color{orange}\cos\theta-1=0\\ \color{orange}\cos\theta = -\dfrac12, & \color{orange}\cos\theta = 1\\\\ 0 \leqq \theta < 2\pi のとき, & \color{orange}-1 \leqq \cos\theta \leqq 1 より\\ \cos\theta &= -\dfrac12,\ 1 \end{align*}
\theta = 0,\ \dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{4}{3}\pi
★部分の復習はこちら

- 20211029…初版公開。問題数3。