三角関数を含む方程式を解く

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

定義域あり0 \leqq \theta < 2\pi のとき,次の方程式を解け。

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
2\sin\theta +1 &= 0\\
2\sin\theta &= -1\\
\sin\theta &= -\dfrac12
\end{align*}
\sin\theta = \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}単位円を6等分

y 座標が -\dfrac12 となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した7番目と11番目が答え!

0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{7}{6}\pi,\ \dfrac{11}{6}\pi

【解答】

\sin\theta = \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}単位円を6等分

y 座標が \dfrac{\sqrt{3}}{2} となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した2番目と4番目が答え!

\theta = \dfrac26\pi,\ \dfrac46\pi
0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{1}{3}\pi,\ \dfrac{2}{3}\pi

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
2\cos\theta +1 &= 0\\
2\cos\theta &= -1\\
\cos\theta &= -\dfrac12
\end{align*}

\cos\theta = \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}単位円を6等分

x 座標が -\dfrac12 となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した4番目と8番目が答え!

\theta = \dfrac46\pi,\ \dfrac86\pi
0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{4}{3}\pi

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
\sin\theta +1 &= 0\\
\sin\theta &= -1
\end{align*}
\sin\theta = 0,\ \pm 1単位円を6等分

y 座標が -1 となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した9番目が答え!

\theta = \dfrac96\pi
0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{3}{2}\pi

【解答】

\tan\theta = \pm\sqrt{3},\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}単位円を6等分

傾きが +\sqrt{3}

つまり 急な上りとなる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した2番目と8番目が答え!

\theta = \dfrac26\pi,\ \dfrac86\pi
0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{4}{3}\pi

【解答】

\tan\theta = \pm\sqrt{3},\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}単位円を6等分

傾きが +\dfrac{1}{\sqrt{3}}

つまり ゆるい上りとなる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した1番目と7番目が答え!

0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{7}{6}\pi

【解答】

\tan\theta = \pm\sqrt{3},\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}単位円を6等分

傾きが -\sqrt{3}

つまり 急な下りとなる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した4番目と10番目が答え!

\theta = \dfrac{4}{6}\pi,\ \dfrac{10}{6}\pi
0 \leqq \theta < 2\pi だから

\theta = \dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{5}{3}\pi

定義域なし次の方程式を解け。

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
2\sin\theta +1 &= 0\\
2\sin\theta &= -1\\
\sin\theta &= -\dfrac12
\end{align*}
\sin\theta = \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}単位円を6等分

y 座標が -\dfrac12 となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した7番目と11番目が答え!

定義域なし!だから +2n\pi を忘れずに

\theta = \dfrac{7}{6}\pi+2n\pi,\ \dfrac{11}{6}\pi+2n\pi

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
2\sin\theta &= -\sqrt{3}\\
\sin\theta &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
\sin\theta = \pm\dfrac12,\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}単位円を6等分

y 座標が -\dfrac{\sqrt{3}}{2} となる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した8番目と10番目が答え!

\theta = \dfrac86\pi,\ \dfrac{10}{6}\pi

定義域なし!だから +2n\pi を忘れずに

\theta = \dfrac{4}{3}\pi+2n\pi,\ \dfrac{5}{3}\pi+2n\pi

【解答】

方程式を変形すると

\begin{align*}
\sqrt{2}\cos\theta &= -1\\
\cos\theta &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}

\cos\theta = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}単位円を4等分

x 座標が -\dfrac{1}{\sqrt{2}} となる動径を探すと・・・

番号をふって

4等分した3番目と5番目が答え!

定義域なし!だから +2n\pi を忘れずに

\theta = \dfrac{3}{4}\pi+2n\pi,\ \dfrac{5}{4}\pi+2n\pi

【解答】

\tan\theta = \pm\sqrt{3},\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}単位円を6等分

傾きが \sqrt{3}

つまり 急な上りとなる動径を探すと・・・

番号をふって

6等分した2番目と8番目が答え!

\theta = \dfrac26\pi,\ \dfrac86\pi

定義域なし!だから +n\pi を忘れずに

\theta = \dfrac{\pi}{3}+n\pi\color{orange},\ \dfrac{4}{3}\pi+n\pi
  • 20211029…初版公開。問題数11。文字と絵だけで説明するのは難しいです。でもWeb教材だからこそ、同じ説明を何度も確認できるはず。このまま全パターン完成させる>私。

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