sin ± cos の2乗

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

【解答】

\sin\theta + \cos\theta = \dfrac12 の両辺を2乗すると

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize ( 左 + 右 )^2 & \\
(\sin\theta + \cos\theta)^2 &= \left(\dfrac12\right)^2\\
\color{red}\scriptsize 左^2  +  左 \times 右 \times 2  + 右^2  & \\
\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta &= \dfrac14\\
\\
\colorbox{mistyrose}{$\sin^2\theta + \cos^2\theta$} + 2\sin\theta\cos\theta &= \dfrac14\\
\color{red}\scriptsize \Darr 三角関数の相互関係\\
\colorbox{mistyrose}{$1$}+2\sin\theta\cos\theta &= \dfrac14\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr両辺4倍\\
4+8\sin\theta\cos\theta &= 1\\
\\
8 \sin\theta\cos\theta &= -3\\
\\
\sin\theta\cos\theta &= -\dfrac38
\end{align*}

【解答】

\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} の両辺を2乗すると

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize ( 左 + 右 )^2 & \\
(\sin\theta + \cos\theta)^2 &= \left(\sqrt{2}\right)^2\\
\color{red}\scriptsize 左^2  +  左 \times 右 \times 2  + 右^2  & \\
\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta &= 2\\
\\
\colorbox{mistyrose}{$\sin^2\theta + \cos^2\theta$} + 2\sin\theta\cos\theta &= 2\\
\color{red}\scriptsize \Darr 三角関数の相互関係\\
\colorbox{mistyrose}{$1$}+2\sin\theta\cos\theta &= 2\\
\\
2 \sin\theta\cos\theta &= 1\\
\\
\sin\theta\cos\theta &= \dfrac12
\end{align*}
  • 20211026…初版公開。問題数2。

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