btakeshi
このページは将来の授業に備えて、コツコツ問題を解いているところです。まだ完成までは時間がかかりそうですが、どなたかの役に立つかもしれないと考えてフライング公開中です。色々と修正が入るかもしれません。それでも良ければ御利用ください。
次の２点 {\rm A,\ B} に対して，{\rm AP}={\rm BP} を満たす点 {\rm P} の軌跡を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf{\rm P}\ の軌跡} \Rightarrow\ {\rm P}\ の座標を決める！\\
& 点\ {\rm P}\ の座標を\ (x,\ y)\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要条件}\\
& {\rm P}\ に関する条件は\ {\rm AP} = {\rm BP}\\
& \qquad\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\Darr ２点間の距離の公式を利用\\
\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} &= \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2}\\
& \scriptsize\color{orange}\Darr 両辺２乗して\\
(x - 0)^2 + (y - 2)^2 &= (x - 4)^2 + (y - 0)^2\\
x^{2} + y^{2} - 4 y + 4 &= x^{2} - 8 x + 16 + y^{2}\\
- 4 y + 4 &= - 8 x + 16\\
8 x - 4 y - 12 &= 0\scriptsize\quad\color{orange}\Darr両辺\ 4\ で割る\\
2 x - y - 3 &= 0\end{align*}\\
& したがって,\ \\
& \qquad 点\ {\rm P}\ は直線\ 2 x - y - 3 = 0\ 上にある。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}{\rm AP}={\rm BP}\ を満たす点{\rm P}\ \Longrightarrow\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y - 3 = 0$\ 上にある}\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y - 3 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 必要条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 十分条件}\\
& 逆に,\ \scriptsize\color{green}上の計算を「下から上に」もどることができるから証明は省略するけど\\
& この直線上のすべての点\ {\rm P}\ について,\ {\rm AP}={\rm BP}\ が成り立つ。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}\fbox{直線\ $2 x - y - 3 = 0$\ 上にある点\ P\ }\ \Longrightarrow\ 点\ {\rm P}\ は\ {\rm AP}={\rm BP}\ を満たす\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y - 3 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 十分条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要十分条件を示せた！}\\
& よって,\ 点\ {\rm P}\ の軌跡は,\\
& \qquad 直線\ 2 x - y - 3 = 0\ である。\\
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf{\rm P}\ の軌跡} \Rightarrow\ {\rm P}\ の座標を決める！\\
& 点\ {\rm P}\ の座標を\ (x,\ y)\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要条件}\\
& {\rm P}\ に関する条件は\ {\rm AP} = {\rm BP}\\
& \qquad\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\Darr ２点間の距離の公式を利用\\
\sqrt{\left\{x - \left( -6 \right)\right\}^2 + (y - 0)^2} &= \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 4)^2}\\
& \scriptsize\color{orange}\Darr 両辺２乗して\\
\left\{x - \left( -6 \right)\right\}^2 + (y - 0)^2 &= (x - 0)^2 + (y - 4)^2\\
x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} &= x^{2} + y^{2} - 8 y + 16\\
12 x + 36 &= - 8 y + 16\\
12 x + 8 y + 20 &= 0\scriptsize\quad\color{orange}\Darr両辺\ 4\ で割る\\
3 x + 2 y + 5 &= 0\end{align*}\\
& したがって,\ \\
& \qquad 点\ {\rm P}\ は直線\ 3 x + 2 y + 5 = 0\ 上にある。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}{\rm AP}={\rm BP}\ を満たす点{\rm P}\ \Longrightarrow\ \fbox{点P\ は直線\ $3 x + 2 y + 5 = 0$\ 上にある}\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $3 x + 2 y + 5 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 必要条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 十分条件}\\
& 逆に,\ \scriptsize\color{green}上の計算を「下から上に」もどることができるから証明は省略するけど\\
& この直線上のすべての点\ {\rm P}\ について,\ {\rm AP}={\rm BP}\ が成り立つ。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}\fbox{直線\ $3 x + 2 y + 5 = 0$\ 上にある点\ P\ }\ \Longrightarrow\ 点\ {\rm P}\ は\ {\rm AP}={\rm BP}\ を満たす\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $3 x + 2 y + 5 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 十分条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要十分条件を示せた！}\\
& よって,\ 点\ {\rm P}\ の軌跡は,\\
& \qquad 直線\ 3 x + 2 y + 5 = 0\ である。\\
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf{\rm P}\ の軌跡} \Rightarrow\ {\rm P}\ の座標を決める！\\
& 点\ {\rm P}\ の座標を\ (x,\ y)\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要条件}\\
& {\rm P}\ に関する条件は\ {\rm AP} = {\rm BP}\\
& \qquad\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\Darr ２点間の距離の公式を利用\\
\sqrt{\left\{x - \left( -3 \right)\right\}^2 + (y - 1)^2} &= \sqrt{(x - 1)^2 + \left\{y - \left( -1 \right)\right\}^2}\\
& \scriptsize\color{orange}\Darr 両辺２乗して\\
\left\{x - \left( -3 \right)\right\}^2 + (y - 1)^2 &= (x - 1)^2 + \left\{y - \left( -1 \right)\right\}^2\\
x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 &= x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 2 y + 1\\
6 x - 2 y + 10 &= - 2 x + 2 y + 2\\
8 x - 4 y + 8 &= 0\scriptsize\quad\color{orange}\Darr両辺\ 4\ で割る\\
2 x - y + 2 &= 0\end{align*}\\
& したがって,\ \\
& \qquad 点\ {\rm P}\ は直線\ 2 x - y + 2 = 0\ 上にある。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}{\rm AP}={\rm BP}\ を満たす点{\rm P}\ \Longrightarrow\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y + 2 = 0$\ 上にある}\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y + 2 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 必要条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 十分条件}\\
& 逆に,\ \scriptsize\color{green}上の計算を「下から上に」もどることができるから証明は省略するけど\\
& この直線上のすべての点\ {\rm P}\ について,\ {\rm AP}={\rm BP}\ が成り立つ。\\
& \qquad\scriptsize\color{red}\fbox{直線\ $2 x - y + 2 = 0$\ 上にある点\ P\ }\ \Longrightarrow\ 点\ {\rm P}\ は\ {\rm AP}={\rm BP}\ を満たす\\
& \qquad\scriptsize\color{red}よって\ \fbox{点P\ は直線\ $2 x - y + 2 = 0$\ 上にある}\ は\\
& \qquad\qquad\qquad\scriptsize\color{red}「{\rm AP}={\rm BP}」\ であるための{\bf 十分条件}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 必要十分条件を示せた！}\\
& よって,\ 点\ {\rm P}\ の軌跡は,\\
& \qquad 直線\ 2 x - y + 2 = 0\ である。\\
\end{align*}
