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円 y^{2} + x^{2} = 8 と 直線 y = x + m について，次の問いに答えよ。
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 8\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$x +m$}\right)^{2} &= 8\\
x^{2} + x^{2}+ 2 m x + m^2 &= 8\\
2 x^2 + 2 m x+ \left(m^{2} - 8\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(2 m\right)^2 -4 \cdot 2 \left(m^{2} - 8\right)\\
&= 4 m^{2} - 8 m^{2} + 64\\
&= - 4 m^{2} + 64\\
&= - 4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) \end{align*}\\
& 円と直線が共有点をもつのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D \geqq 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) &\colorbox{mistyrose}{$\geqq 0$}\\
4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) &\leqq 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad -4 \leqq m \leqq 4\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 8\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$x +m$}\right)^{2} &= 8\\
x^{2} + x^{2}+ 2 m x + m^2 &= 8\\
2 x^2 + 2 m x+ \left(m^{2} - 8\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(2 m\right)^2 -4 \cdot 2 \left(m^{2} - 8\right)\\
&= 4 m^{2} - 8 m^{2} + 64\\
&= - 4 m^{2} + 64\\
&= - 4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) \end{align*}\\
& 円と直線が接するのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D = 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) &\colorbox{mistyrose}{$= 0$}\\
4 \left(m - 4\right) \left(m + 4\right) &= 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad m = -4,\ 4\end{align*}
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円 x^{2} + y^{2} = 5 と 直線 y = 2 x +m について，次の問いに答えよ。
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 5\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = 2 x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$2 x +m$}\right)^{2} &= 5\\
x^{2} + 4 x^{2}+ 4 m x + m^2 &= 5\\
5 x^2 + 4 m x+ \left(m^{2} - 5\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(4 m\right)^2 -4 \cdot 5 \left(m^{2} - 5\right)\\
&= 16 m^{2} - 20 m^{2} + 100\\
&= - 4 m^{2} + 100\\
&= - 4 \left(m - 5\right) \left(m + 5\right) \end{align*}\\
& 円と直線が共有点をもつのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D \geqq 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m - 5\right) \left(m + 5\right) &\colorbox{mistyrose}{$\geqq 0$}\\
4 \left(m - 5\right) \left(m + 5\right) &\leqq 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad -5 \leqq m \leqq 5\end{align*}
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円 x^{2} + y^{2} = 5 と 直線 y = 2 x +m について，次の問いに答えよ。
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 1\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$x +m$}\right)^{2} &= 1\\
x^{2} + x^{2}+ 2 m x + m^2 &= 1\\
2 x^2 + 2 m x+ \left(m^{2} - 1\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(2 m\right)^2 -4 \cdot 2 \left(m^{2} - 1\right)\\
&= 4 m^{2} - 8 m^{2} + 8\\
&= - 4 m^{2} + 8\\
&= - 4 \left(m^{2} - 2\right) \end{align*}\\
& 円と直線が共有点をもつのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D \geqq 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m^{2} - 2\right) &\colorbox{mistyrose}{$\geqq 0$}\\
4 \left(m^{2} - 2\right) &\leqq 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad - \sqrt{2} \leqq m \leqq \sqrt{2}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 1\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$x +m$}\right)^{2} &= 1\\
x^{2} + x^{2}+ 2 m x + m^2 &= 1\\
2 x^2 + 2 m x+ \left(m^{2} - 1\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(2 m\right)^2 -4 \cdot 2 \left(m^{2} - 1\right)\\
&= 4 m^{2} - 8 m^{2} + 8\\
&= - 4 m^{2} + 8\\
&= - 4 \left(m^{2} - 2\right) \end{align*}\\
& 円と直線が接するのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D = 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m^{2} - 2\right) &\colorbox{mistyrose}{$= 0$}\\
4 \left(m^{2} - 2\right) &= 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad m = - \sqrt{2},\ \sqrt{2}\end{align*}
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円 x^{2} + y^{2} = 5 と 直線 y = 2 x +m について，次の問いに答えよ。
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 4\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = - 2 x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$- 2 x +m$}\right)^{2} &= 4\\
x^{2} + 4 x^{2}- 4 m x + m^2 &= 4\\
5 x^2 - 4 m x+ \left(m^{2} - 4\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(- 4 m\right)^2 -4 \cdot 5 \left(m^{2} - 4\right)\\
&= 16 m^{2} - 20 m^{2} + 80\\
&= - 4 m^{2} + 80\\
&= - 4 \left(m^{2} - 20\right) \end{align*}\\
& 円と直線が共有点をもつのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D \geqq 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m^{2} - 20\right) &\colorbox{mistyrose}{$\geqq 0$}\\
4 \left(m^{2} - 20\right) &\leqq 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad - 2 \sqrt{5} \leqq m \leqq 2 \sqrt{5}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& x^{2} + \colorbox{mistyrose}{$y$}^{2} = 4\ と直線\ \colorbox{mistyrose}{$y$} = - 2 x +m\ から\\
& \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を消去して整理すると\\
& \qquad\begin{align*}
x^{2} + \left(\colorbox{mistyrose}{$- 2 x +m$}\right)^{2} &= 4\\
x^{2} + 4 x^{2}- 4 m x + m^2 &= 4\\
5 x^2 - 4 m x+ \left(m^{2} - 4\right) &= 0\end{align*}\\
& この\ 2\ 次方程式の判別式を\ D\ とすると\\
& \qquad\begin{align*}
D &= \left(- 4 m\right)^2 -4 \cdot 5 \left(m^{2} - 4\right)\\
&= 16 m^{2} - 20 m^{2} + 80\\
&= - 4 m^{2} + 80\\
&= - 4 \left(m^{2} - 20\right) \end{align*}\\
& 円と直線が接するのは,\colorbox{mistyrose}{$\ D = 0\ $}のときである。\\
& \qquad\begin{align*}
- 4 \left(m^{2} - 20\right) &\colorbox{mistyrose}{$= 0$}\\
4 \left(m^{2} - 20\right) &= 0\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad m = - 2 \sqrt{5},\ 2 \sqrt{5}\end{align*}
