次の円と直線の共有点の座標を求めよ。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 5\ \cdots\ ① \\y = x - 1\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(x - 1\right)^{2} &= 5\\ x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 &= 5\\ 2 x^{2} - 2 x - 4 &= 0\\ 2 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = -1,\ 2\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = -1\ のとき \quad y = -2\\ & \qquad x = 2\ のとき \quad y = 1\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(-1,\ -2\right),\ \left(2,\ 1\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 5\ \cdots\ ① \\y = 2 x + 5\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(2 x + 5\right)^{2} &= 5\\ x^{2} + 4 x^{2} + 20 x + 25 &= 5\\ 5 x^{2} + 20 x + 20 &= 0\\ 5 \left(x + 2\right)^{2} &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = -2\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = -2\ のとき \quad y = 1\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(-2,\ 1\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 25\ \cdots\ ① \\y = x + 1\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(x + 1\right)^{2} &= 25\\ x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 &= 25\\ 2 x^{2} + 2 x - 24 &= 0\\ 2 \left(x - 3\right) \left(x + 4\right) &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = -4,\ 3\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = -4\ のとき \quad y = -3\\ & \qquad x = 3\ のとき \quad y = 4\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(-4,\ -3\right),\ \left(3,\ 4\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 8\ \cdots\ ① \\y = - x + 4\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(- x + 4\right)^{2} &= 8\\ x^{2} + x^{2} - 8 x + 16 &= 8\\ 2 x^{2} - 8 x + 8 &= 0\\ 2 \left(x - 2\right)^{2} &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = 2\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = 2\ のとき \quad y = 2\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(2,\ 2\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 1\ \cdots\ ① \\y = x - 1\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(x - 1\right)^{2} &= 1\\ x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 &= 1\\ 2 x^{2} - 2 x &= 0\\ 2 x \left(x - 1\right) &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = 0,\ 1\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = 0\ のとき \quad y = -1\\ & \qquad x = 1\ のとき \quad y = 0\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(0,\ -1\right),\ \left(1,\ 0\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}x^{2} + y^{2} = 2\ \cdots\ ① \\y = - x + 2\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} x^{2} + \left(- x + 2\right)^{2} &= 2\\ x^{2} + x^{2} - 4 x + 4 &= 2\\ 2 x^{2} - 4 x + 2 &= 0\\ 2 \left(x - 1\right)^{2} &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = 1\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = 1\ のとき \quad y = 1\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(1,\ 1\right)\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}直線は標準形になおす!\\ & \begin{cases}y^{2} + \left(x + 2\right)^{2} = 10\ \cdots\ ① \\y = - 2 x + 1\ \cdots\ ②\end{cases}\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 共有点}\quad 連立!\\ & ②を①に代入して\\ & \qquad\begin{align*} \left(- 2 x + 1\right)^{2} + \left(x + 2\right)^{2} &= 10\\ x^{2} + 4 x + 4 + 4 x^{2} - 4 x + 1 &= 10\\ 5 x^{2} - 5 &= 0\\ 5 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) &= 0\\ \end{align*} \\ & これを解くと\\ & \qquad x = -1,\ 1\\ \\ & ②に代入して\\ & \qquad x = -1\ のとき \quad y = 3\\ & \qquad x = 1\ のとき \quad y = -1\\ \\ & よって,共有点の座標は\\ & \qquad \left(-1,\ 3\right),\ \left(1,\ -1\right)\end{align*}