次の３点を通る円の方程式を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 2,\ y = 4\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
2^2 + 4^2 + 2 l + 4 m + n &= 0\\
2 l + 4 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 2,\ y = 0\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
2^2 + 0^2 + 2 l + 0 m + n &= 0\\
2 l + n + 4 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -1,\ y = 3\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-1\right)^2 + 3^2 -1 l + 3 m + n &= 0\\
- l + 3 m + n + 10 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad n\ の係数が同じだから\ n\ を消去！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -2,\ m = -4,\ n = 0\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
\color{lightgray}x^2+y^2 -2 x -4 y + 0 &\color{lightgray}= 0\\
x^2+y^2 - 2 x - 4 y &= 0\end{align*}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -2,\ y = 0\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-2\right)^2 + 0^2 -2 l + 0 m + n &= 0\\
- 2 l + n + 4 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -2,\ y = 8\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-2\right)^2 + 8^2 -2 l + 8 m + n &= 0\\
- 2 l + 8 m + n + 68 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = -1\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
1^2 + \left(-1\right)^2 + 1 l -1 m + n &= 0\\
l - m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -2,\ m = -8,\ n = -8\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
x^2+y^2 - 2 x - 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 3\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
1^2 + 3^2 + 1 l + 3 m + n &= 0\\
l + 3 m + n + 10 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -5\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
5^2 + \left(-5\right)^2 + 5 l -5 m + n &= 0\\
5 l - 5 m + n + 50 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 4,\ y = 2\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
4^2 + 2^2 + 4 l + 2 m + n &= 0\\
4 l + 2 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -2,\ m = 4,\ n = -20\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
x^2+y^2 - 2 x + 4 y - 20 &= 0\end{align*}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -1,\ y = 2\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-1\right)^2 + 2^2 -1 l + 2 m + n &= 0\\
- l + 2 m + n + 5 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 4,\ y = 2\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
4^2 + 2^2 + 4 l + 2 m + n &= 0\\
4 l + 2 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 0\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
1^2 + 0^2 + 1 l + 0 m + n &= 0\\
l + n + 1 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -3,\ m = -5,\ n = 2\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
x^2+y^2 - 3 x - 5 y + 2 &= 0\end{align*}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 1\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
1^2 + 1^2 + 1 l + 1 m + n &= 0\\
l + m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -1\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
5^2 + \left(-1\right)^2 + 5 l -1 m + n &= 0\\
5 l - m + n + 26 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -3,\ y = -7\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-3\right)^2 + \left(-7\right)^2 -3 l -7 m + n &= 0\\
- 3 l - 7 m + n + 58 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -2,\ m = 8,\ n = -8\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
x^2+y^2 - 2 x + 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート！\\
& 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\
& \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入！\\
& 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 1\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
1^2 + 1^2 + 1 l + 1 m + n &= 0\\
l + m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ①\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -1\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
5^2 + \left(-1\right)^2 + 5 l -1 m + n &= 0\\
5 l - m + n + 26 &= 0\ \cdots\ ②\\
\end{align*}
\\
& 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -3,\ y = -7\ を代入\\
& \qquad\begin{align*}
\left(-3\right)^2 + \left(-7\right)^2 -3 l -7 m + n &= 0\\
- 3 l - 7 m + n + 58 &= 0\ \cdots\ ③\\
\end{align*}
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入！\\
& ①②③を連立して\\
& \qquad l = -2,\ m = 8,\ n = -8\\
\\
& よって，求める円の方程式は\\
& \qquad\begin{align*}
x^2+y^2 - 2 x + 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}
