次の3点を通る円の方程式を求めよ。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 2,\ y = 4\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 2^2 + 4^2 + 2 l + 4 m + n &= 0\\ 2 l + 4 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 2,\ y = 0\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 2^2 + 0^2 + 2 l + 0 m + n &= 0\\ 2 l + n + 4 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -1,\ y = 3\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-1\right)^2 + 3^2 -1 l + 3 m + n &= 0\\ - l + 3 m + n + 10 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad n\ の係数が同じだから\ n\ を消去!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -2,\ m = -4,\ n = 0\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} \color{lightgray}x^2+y^2 -2 x -4 y + 0 &\color{lightgray}= 0\\ x^2+y^2 - 2 x - 4 y &= 0\end{align*}\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -2,\ y = 0\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-2\right)^2 + 0^2 -2 l + 0 m + n &= 0\\ - 2 l + n + 4 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -2,\ y = 8\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-2\right)^2 + 8^2 -2 l + 8 m + n &= 0\\ - 2 l + 8 m + n + 68 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = -1\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 1^2 + \left(-1\right)^2 + 1 l -1 m + n &= 0\\ l - m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -2,\ m = -8,\ n = -8\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} x^2+y^2 - 2 x - 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 3\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 1^2 + 3^2 + 1 l + 3 m + n &= 0\\ l + 3 m + n + 10 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -5\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 5^2 + \left(-5\right)^2 + 5 l -5 m + n &= 0\\ 5 l - 5 m + n + 50 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 4,\ y = 2\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 4^2 + 2^2 + 4 l + 2 m + n &= 0\\ 4 l + 2 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -2,\ m = 4,\ n = -20\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} x^2+y^2 - 2 x + 4 y - 20 &= 0\end{align*}\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -1,\ y = 2\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-1\right)^2 + 2^2 -1 l + 2 m + n &= 0\\ - l + 2 m + n + 5 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 4,\ y = 2\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 4^2 + 2^2 + 4 l + 2 m + n &= 0\\ 4 l + 2 m + n + 20 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 0\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 1^2 + 0^2 + 1 l + 0 m + n &= 0\\ l + n + 1 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -3,\ m = -5,\ n = 2\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} x^2+y^2 - 3 x - 5 y + 2 &= 0\end{align*}\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 1\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 1^2 + 1^2 + 1 l + 1 m + n &= 0\\ l + m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -1\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 5^2 + \left(-1\right)^2 + 5 l -1 m + n &= 0\\ 5 l - m + n + 26 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -3,\ y = -7\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-3\right)^2 + \left(-7\right)^2 -3 l -7 m + n &= 0\\ - 3 l - 7 m + n + 58 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -2,\ m = 8,\ n = -8\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} x^2+y^2 - 2 x + 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心や半径なし}\quad 一般形からスタート!\\ & 求める円の方程式を\qquad\scriptsize\color{red}\Darr\ \bf 一般形\\ & \qquad x^2+y^2+lx+my+n=0\ とする。\\ \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 点を通る}\quad 代入!\\ & 点\ {\rm A}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 1,\ y = 1\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 1^2 + 1^2 + 1 l + 1 m + n &= 0\\ l + m + n + 2 &= 0\ \cdots\ ①\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm B}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = 5,\ y = -1\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} 5^2 + \left(-1\right)^2 + 5 l -1 m + n &= 0\\ 5 l - m + n + 26 &= 0\ \cdots\ ②\\ \end{align*} \\ & 点\ {\rm C}\ を通るから\quad\scriptsize\color{orange}x = -3,\ y = -7\ を代入\\ & \qquad\begin{align*} \left(-3\right)^2 + \left(-7\right)^2 -3 l -7 m + n &= 0\\ - 3 l - 7 m + n + 58 &= 0\ \cdots\ ③\\ \end{align*} \\ & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 連立}\quad 代入!\\ & ①②③を連立して\\ & \qquad l = -2,\ m = 8,\ n = -8\\ \\ & よって,求める円の方程式は\\ & \qquad\begin{align*} x^2+y^2 - 2 x + 8 y - 8 &= 0\end{align*}\end{align*}