次の方程式はどのような図形を表すか。
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}- 6 x + 2 y - 6 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2\colorbox{bisque}{$-6$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$2$}y &= 6\\ \textcolor{orange}{\scriptsize -6 \times\frac12 = -3}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 2 \times\frac12 = 1}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$-3$} \right)^2 - (\colorbox{bisque}{$-3$})^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$+1$} \right)^2 - \colorbox{palegreen}{$1$}^2 &= 6\\ \\ \left( x - 3 \right)^2 - 9 + \left( y + 1 \right)^2 - 1 &= 6\\ \\ \left( x - 3 \right)^2 + \left( y + 1 \right) &= 6 + 9 + 1\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x - 3$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + 1$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$16$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x - 3 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + 1 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{16}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$3$},\ \colorbox{palegreen}{$-1$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$4$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$} +4 x - 2 y - 4 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2 +\colorbox{bisque}{$4$}x + y^2\colorbox{palegreen}{$-2$}y &= 4\\ \textcolor{orange}{\scriptsize 4 \times\frac12 = 2}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize -2 \times\frac12 = -1}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$+2$} \right)^2 - \colorbox{bisque}{$2$}^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$-1$} \right)^2 - (\colorbox{palegreen}{$-1$})^2 &= 4\\ \\ \left( x + 2 \right)^2 - 4 + \left( y - 1 \right)^2 - 1 &= 4\\ \\ \left( x + 2 \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2 &= 4 + 4 + 1\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x + 2$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y - 1$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$9$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x + 2 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y - 1 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{9}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$-2$},\ \colorbox{palegreen}{$1$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$3$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$} +6 x + 8 y + 9 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2 +\colorbox{bisque}{$6$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$8$}y &= -9\\ \textcolor{orange}{\scriptsize 6 \times\frac12 = 3}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 8 \times\frac12 = 4}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$+3$} \right)^2 - \colorbox{bisque}{$3$}^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$+4$} \right)^2 - \colorbox{palegreen}{$4$}^2 &= -9\\ \\ \left( x + 3 \right)^2 - 9 + \left( y + 4 \right)^2 - 16 &= -9\\ \\ \left( x + 3 \right)^2 + \left( y + 4 \right)^2 &= -9 + 9 + 16\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x + 3$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + 4$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$16$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x + 3 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + 4 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{16}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$-3$},\ \colorbox{palegreen}{$-4$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$4$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$} +4 x + 6 y + 8 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2 +\colorbox{bisque}{$4$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$6$}y &= -8\\ \textcolor{orange}{\scriptsize 4 \times\frac12 = 2}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 6 \times\frac12 = 3}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$+2$} \right)^2 - \colorbox{bisque}{$2$}^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$+3$} \right)^2 - \colorbox{palegreen}{$3$}^2 &= -8\\ \\ \left( x + 2 \right)^2 - 4 + \left( y + 3 \right)^2 - 9 &= -8\\ \\ \left( x + 2 \right)^2 + \left( y + 3 \right)^2 &= -8 + 4 + 9\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x + 2$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + 3$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$5$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x + 2 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + 3 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{5}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$-2$},\ \colorbox{palegreen}{$-3$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$\sqrt{5}$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$} +2 x &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2 +\colorbox{bisque}{$2$}x + y^2 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize 2 \times\frac12 = 1}\qquad\textcolor{white}{\scriptsize 0 \times\frac12 = 0}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$+1$} \right)^2 - \colorbox{bisque}{$1$}^2 + y^2 &= 0\\ \\ \left( x + 1 \right)^2 - 1 + y^2 &= 0\\ \\ \left( x + 1 \right)^2 + y^2 &= 0 + 1\\ \left( \colorbox{bisque}{$x + 1$} \right)^2 + y^2 &= \colorbox{violet}{$1$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x + 1 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{1}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$-1$},\ \colorbox{palegreen}{$0$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$1$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}- 6 x + 10 y + 16 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2\colorbox{bisque}{$-6$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$10$}y &= -16\\ \textcolor{orange}{\scriptsize -6 \times\frac12 = -3}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 10 \times\frac12 = 5}\qquad & \\ \left(x \colorbox{bisque}{$-3$} \right)^2 - (\colorbox{bisque}{$-3$})^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$+5$} \right)^2 &= -16\\ \\ \left( x - 3 \right)^2 - 9 + \left( y + 5 \right)^2 - 25 &= -16\\ \\ \left( x - 3 \right)^2 + \left( y + 5 \right)^2 &= -16 + 9 + 25\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x - 3$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + 5$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$18$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x - 3 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + 5 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{18}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$3$},\ \colorbox{palegreen}{$-5$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$3 \sqrt{2}$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ 2x^2+2y^2- 4 x + 8 y + 2 &= 0\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}- 2 x + 4 y + 1 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2\colorbox{bisque}{$-2$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$4$}y &= -1\\ \textcolor{orange}{\scriptsize -2 \times\frac12 = -1}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 4 \times\frac12 = 2}\qquad & \\ \displaystyle\left(x \colorbox{bisque}{$-1$} \right)^2 - (\colorbox{bisque}{$-1$})^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$\displaystyle +2$} \right)^2 - \colorbox{palegreen}{$2$}^2 &= -1\\ \\ \left( x - 1 \right)^2 - 1 + \left( y + 2 \right)^2 - 4 &= -1\\ \\ \left( x - 1 \right)^2 + \left( y + 2 \right)^2 &= -1 + 1 + 4\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x - 1$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + 2$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$4$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x - 1 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + 2 = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{4}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$1$},\ \colorbox{palegreen}{$-2$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$2$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}\ \Rightarrow\ \bf 円の方程式! & \color{orange}\scriptsize\Rightarrow\bf 平方完成!\\ \\ \colorbox{mistyrose}{$x^2+y^2$}- 4 x + y + 2 &= 0\\ \textcolor{orange}{\scriptsize x\ で整理}\quad\textcolor{palegreen}{\scriptsize y\ で整理}\quad & \\ x^2\colorbox{bisque}{$-4$}x + y^2 +\colorbox{palegreen}{$1$}y &= -2\\ \textcolor{orange}{\scriptsize -4 \times\frac12 = -2}\qquad\textcolor{palegreen}{\scriptsize 1 \times\frac12 = \frac{1}{2}}\qquad & \\ \displaystyle\left(x \colorbox{bisque}{$-2$} \right)^2 - (\colorbox{bisque}{$-2$})^2 + \left(y \colorbox{palegreen}{$\displaystyle +\frac{1}{2}$} \right)^2 - \colorbox{palegreen}{$\frac{1}{2}$}^2 &= -2\\ \\ \left( x - 2 \right)^2 - 4 + \left( y + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} &= -2\\ \\ \left( x - 2 \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2} \right)^2 &= -2 + 4 + \frac{1}{4}\\ \\ \left( \colorbox{bisque}{$x - 2$} \right)^2 + \left( \colorbox{palegreen}{$y + \frac{1}{2}$} \right)^2 &= \colorbox{violet}{$\frac{9}{4}$}\\ \\ これは,\scriptsize\textcolor{orange}{x - 2 = 0}\qquad\textcolor{palegreen}{y + \frac{1}{2} = 0} & \qquad\scriptsize\textcolor{magenta}{\sqrt{\frac{9}{4}}}\\ 点\ \left( \colorbox{bisque}{$2$},\ \colorbox{palegreen}{$- \frac{1}{2}$}\right)\ を中心とする & 半径\ \colorbox{violet}{$\frac{3}{2}$}\ の\colorbox{mistyrose}{円}を表す。 \end{align*}