練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
次の２点を直径の両端とする円について，中心の座標と半径を求めよ。また，その円の方程式を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& 求める円の中心を{\rm C}，半径を\ r\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心を求める}\quad 直径は円の中心を通る！\\
& {\rm C}\ は線分\ {\rm AB}\ の中点で，中心の座標は\\
& \qquad\color{orange}\scriptsize\bf 中点 ➡ 足して２で割ればよいから\\
& \left( \dfrac{3 \colorbox{bisque}{$+$} \left(-1\right)}{\colorbox{bisque}{$2$}},\ \dfrac{4 \colorbox{bisque}{$+$} 2}{\colorbox{bisque}{$2$}}\right)\color{lightgray} = \left(\dfrac{2}{2},\ \dfrac{6}{2}\right)\\
& すなわち\\
& \qquad{\rm C}\left(1,\ 3\right)\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 半径を求める}\\
& また，半径は\quad\color{red}\scriptsize r={\rm CA}={\rm CB}\ であるから\\
& \begin{align*}
\qquad{\rm CA} &= \sqrt{\left( 3 - 1 \right)^2 + \left( 4 - 3 \right)^2}\\
&= \sqrt{2^2 + 1^2}\\
&= \sqrt{4 + 1}\\
&= \sqrt{5}\end{align*}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 円の方程式を求める}\quad 中心と半径\\
& この円の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\quad中心\ \left( \colorbox{bisque}{$1$},\ \colorbox{palegreen}{$3$} \right),\ 半径\ \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}\ だから\\
& \qquad\begin{align*}
\left( x - \colorbox{bisque}{$1$} \right)^2 + \left( y - \colorbox{palegreen}{$3$} \right)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}^2\\
\left( x - 1 \right)^2 + \left( y - 3 \right)^2 &= 5\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& 求める円の中心を{\rm C}，半径を\ r\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心を求める}\quad 直径は円の中心を通る！\\
& {\rm C}\ は線分\ {\rm AB}\ の中点で，中心の座標は\\
& \qquad\color{orange}\scriptsize\bf 中点 ➡ 足して２で割ればよいから\\
& \left( \dfrac{4 \colorbox{bisque}{$+$} 0}{\colorbox{bisque}{$2$}},\ \dfrac{0 \colorbox{bisque}{$+$} 2}{\colorbox{bisque}{$2$}}\right)\color{lightgray} = \left(\dfrac{4}{2},\ \dfrac{2}{2}\right)\\
& すなわち\\
& \qquad{\rm C}\left(2,\ 1\right)\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 半径を求める}\\
& また，半径は\quad\color{red}\scriptsize r={\rm CA}={\rm CB}\ であるから\\
& \begin{align*}
\qquad{\rm CA} &= \sqrt{\left( 4 - 2 \right)^2 + \left( 0 - 1 \right)^2}\\
&= \sqrt{2^2 + \left( -1 \right)^2}\\
&= \sqrt{4 + 1}\\
&= \sqrt{5}\end{align*}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 円の方程式を求める}\quad 中心と半径\\
& この円の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\quad中心\ \left( \colorbox{bisque}{$2$},\ \colorbox{palegreen}{$1$} \right),\ 半径\ \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}\ だから\\
& \qquad\begin{align*}
\left( x - \colorbox{bisque}{$2$} \right)^2 + \left( y - \colorbox{palegreen}{$1$} \right)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}^2\\
\left( x - 2 \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2 &= 5\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& 求める円の中心を{\rm C}，半径を\ r\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心を求める}\quad 直径は円の中心を通る！\\
& {\rm C}\ は線分\ {\rm AB}\ の中点で，中心の座標は\\
& \qquad\color{orange}\scriptsize\bf 中点 ➡ 足して２で割ればよいから\\
& \left( \dfrac{4 \colorbox{bisque}{$+$} \left(-6\right)}{\colorbox{bisque}{$2$}},\ \dfrac{-2 \colorbox{bisque}{$+$} \left(-2\right)}{\colorbox{bisque}{$2$}}\right)\color{lightgray} = \left(\dfrac{-2}{2},\ \dfrac{-4}{2}\right)\\
& すなわち\\
& \qquad{\rm C}\left(-1,\ -2\right)\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 半径を求める}\\
& また，半径は\quad\color{red}\scriptsize r={\rm CA}={\rm CB}\ であるから\\
& \begin{align*}
\qquad{\rm CA} &= \sqrt{\left\{ 4 - \left( -1 \right) \right\}^2 + \left\{ -2 - \left( -2 \right) \right\}^2}\\
&= \sqrt{5^2 + 0^2}\\
&= \sqrt{25 + 0}\\
&= \sqrt{25}\\
&= 5\end{align*}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 円の方程式を求める}\\
& この円の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\quad中心\ \left( \colorbox{bisque}{$-1$},\ \colorbox{palegreen}{$-2$} \right),\ 半径\ \colorbox{mistyrose}{$5$}\ だから\\
& \qquad\begin{align*}
\left\{ x - \left( \colorbox{bisque}{$-1$} \right) \right\}^2 + \left\{ y - \left( \colorbox{palegreen}{$-2$} \right) \right\}^2 &= \colorbox{mistyrose}{$5$}^2\\
\left( x + 1 \right)^2 + \left( y + 2 \right)^2 &= 25\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& 求める円の中心を{\rm C}，半径を\ r\ とする。\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 中心を求める}\quad 直径は円の中心を通る！\\
& {\rm C}\ は線分\ {\rm AB}\ の中点で，中心の座標は\\
& \qquad\color{orange}\scriptsize\bf 中点 ➡ 足して２で割ればよいから\\
& \left( \dfrac{-1 \colorbox{bisque}{$+$} \left(-5\right)}{\colorbox{bisque}{$2$}},\ \dfrac{6 \colorbox{bisque}{$+$} 4}{\colorbox{bisque}{$2$}}\right)\color{lightgray} = \left(\dfrac{-6}{2},\ \dfrac{10}{2}\right)\\
& すなわち\\
& \qquad{\rm C}\left(-3,\ 5\right)\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 半径を求める}\\
& また，半径は\quad\color{red}\scriptsize r={\rm CA}={\rm CB}\ であるから\\
& \begin{align*}
\qquad{\rm CA} &= \sqrt{\left\{ -1 - \left( -3 \right) \right\}^2 + \left( 6 - 5 \right)^2}\\
&= \sqrt{2^2 + 1^2}\\
&= \sqrt{4 + 1}\\
&= \sqrt{5}\end{align*}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 円の方程式を求める}\\
& この円の方程式は\\
& \quad\scriptsize\color{red}\quad中心\ \left( \colorbox{bisque}{$-3$},\ \colorbox{palegreen}{$5$} \right),\ 半径\ \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}\ だから\\
& \qquad\begin{align*}
\left\{ x - \left( \colorbox{bisque}{$-3$} \right) \right\}^2 + \left( y - \colorbox{palegreen}{$5$} \right)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{5}$}^2\\
\left( x + 3 \right)^2 + \left( y - 5 \right)^2 &= 5\end{align*}
\end{align*}
