次の直線 \ell と点 {\rm A} について,直線 \ell に関して点 {\rm A} と対称な点 {\rm B} の座標を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定!}\\ & 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\ \\ & \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう!\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}2 x - y - 1 &= 0\\ - y &= - 2 x + 1\\ y &= \colorbox{bisque}{$2$} x - 1\\ \end{align*}\\ & 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$2$},\ \\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 4}{p - 0}\ より\end{align*}\\ & 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 4}{p}$}である。\\ & {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\ & \quad\begin{align*} \colorbox{bisque}{$2$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 4}{p}$} &= -1\\ \color{orange}\scriptsize 両辺に\ p\ をかけて\\ 2 \left( q - 4 \right) &= - p\\ p + 2 q - 8 &= 0\quad\cdots ①\\ \end{align*}\\ \\ & \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して2で割る\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + 0}{2},\ \dfrac{q + 4}{2}\right)\ より\end{align*}\\ & 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p}{2},\ \dfrac{q + 4}{2} \right)\ は\\ & 直線\ \ell\ 上にあるから\\ & \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : 2 x - y - 1 = 0\ に代入して\\ & \quad\begin{align*} 2 \cdot \dfrac{p}{2} -1 \cdot \dfrac{q + 4}{2} -1 &= 0\\ \color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\ 2 \cdot p -1 (q + 4) -2 &= 0\\ 2 p - q - 6 &= 0\quad\cdots ②\\ \end{align*} \\ \\ & ①,②を連立させた方程式を解くと\\ & \qquad\qquad p = 4,\ q = 2\\ & したがって,点\ {\rm B}\ の座標は\\ & \qquad\qquad \left(4,\ 2\right)\end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定!}\\ & 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\ \\ & \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう!\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}3 x - 2 y - 6 &= 0\\ - 2 y &= - 3 x + 6\\ y &= \colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$} x - 3\\ \end{align*}\\ & 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$},\ \\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 2}{p - (-1)}\ より\end{align*}\\ & 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p + 1}$}である。\\ & {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\ & \quad\begin{align*} \colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p + 1}$} &= -1\\ \color{orange}\scriptsize 両辺に\ 2\left(p + 1\right)\ をかけて\\ 3 \left( q - 2 \right) &= - 2 p - 2\\ 2 p + 3 q - 4 &= 0\quad\cdots ①\\ \end{align*}\\ \\ & \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して2で割る\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + (-1)}{2},\ \dfrac{q + 2}{2}\right)\ より\end{align*}\\ & 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p - 1}{2},\ \dfrac{q + 2}{2} \right)\ は\\ & 直線\ \ell\ 上にあるから\\ & \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : 3 x - 2 y - 6 = 0\ に代入して\\ & \quad\begin{align*} 3 \cdot \dfrac{p - 1}{2} -2 \cdot \dfrac{q + 2}{2} -6 &= 0\\ \color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\ 3 (p - 1) -2 (q + 2) -12 &= 0\\ 3 p - 2 q - 19 &= 0\quad\cdots ②\\ \end{align*} \\ \\ & ①,②を連立させた方程式を解くと\\ & \qquad\qquad p = 5,\ q = -2\\ & したがって,点\ {\rm B}\ の座標は\\ & \qquad\qquad \left(5,\ -2\right)\end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定!}\\ & 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\ \\ & \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\ & \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう!\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}x + y + 1 &= 0\\ y &= - x - 1\\ y &= \colorbox{bisque}{$-1$} x - 1\\ \end{align*}\\ & 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$-1$},\ \\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 2}{p - 3}\ より\end{align*}\\ & 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p - 3}$}である。\\ & {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\ & \quad\begin{align*} \colorbox{bisque}{$-1$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p - 3}$} &= -1\\ \color{orange}\scriptsize 両辺に\ p - 3\ をかけて\\ -1 \left( q - 2 \right) &= - p + 3\\ p - q - 1 &= 0\quad\cdots ①\\ \end{align*}\\ \\ & \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して2で割る\\ & \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\ &\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + 3}{2},\ \dfrac{q + 2}{2}\right)\ より\end{align*}\\ & 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p + 3}{2},\ \dfrac{q + 2}{2} \right)\ は\\ & 直線\ \ell\ 上にあるから\\ & \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : x + y + 1 = 0\ に代入して\\ & \quad\begin{align*} 1 \cdot \dfrac{p + 3}{2} +1 \cdot \dfrac{q + 2}{2} +1 &= 0\\ \color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\ 1 (p + 3) +1 (q + 2) +2 &= 0\\ p + q + 7 &= 0\quad\cdots ②\\ \end{align*} \\ \\ & ①,②を連立させた方程式を解くと\\ & \qquad\qquad p = -3,\ q = -4\\ & したがって,点\ {\rm B}\ の座標は\\ & \qquad\qquad \left(-3,\ -4\right)\end{align*}