次の直線 \ell と点 {\rm A} について，直線 \ell に関して点 {\rm A} と対称な点 {\rm B} の座標を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定！}\\
& 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\
\\
& \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう！\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}2 x - y - 1 &= 0\\
- y &= - 2 x + 1\\
y &= \colorbox{bisque}{$2$} x - 1\\
\end{align*}\\
& 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$2$}，\ \\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 4}{p - 0}\ より\end{align*}\\
& 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 4}{p}$}である。\\
& {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\
& \quad\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$2$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 4}{p}$} &= -1\\
\color{orange}\scriptsize 両辺に\ p\ をかけて\\
2 \left( q - 4 \right) &= - p\\
p + 2 q - 8 &= 0\quad\cdots ①\\
\end{align*}\\
\\
& \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して２で割る\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + 0}{2},\ \dfrac{q + 4}{2}\right)\ より\end{align*}\\
& 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p}{2},\ \dfrac{q + 4}{2} \right)\ は\\
& 直線\ \ell\ 上にあるから\\
& \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : 2 x - y - 1 = 0\ に代入して\\
& \quad\begin{align*}
2 \cdot \dfrac{p}{2} -1 \cdot \dfrac{q + 4}{2} -1 &= 0\\
\color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\
2 \cdot p -1 (q + 4) -2 &= 0\\
2 p - q - 6 &= 0\quad\cdots ②\\
\end{align*}
\\
\\
& ①，②を連立させた方程式を解くと\\
& \qquad\qquad p = 4,\ q = 2\\
& したがって，点\ {\rm B}\ の座標は\\
& \qquad\qquad \left(4,\ 2\right)\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定！}\\
& 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\
\\
& \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう！\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}3 x - 2 y - 6 &= 0\\
- 2 y &= - 3 x + 6\\
y &= \colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$} x - 3\\
\end{align*}\\
& 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$}，\ \\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 2}{p - (-1)}\ より\end{align*}\\
& 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p + 1}$}である。\\
& {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\
& \quad\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$\frac{3}{2}$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p + 1}$} &= -1\\
\color{orange}\scriptsize 両辺に\ 2\left(p + 1\right)\ をかけて\\
3 \left( q - 2 \right) &= - 2 p - 2\\
2 p + 3 q - 4 &= 0\quad\cdots ①\\
\end{align*}\\
\\
& \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して２で割る\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + (-1)}{2},\ \dfrac{q + 2}{2}\right)\ より\end{align*}\\
& 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p - 1}{2},\ \dfrac{q + 2}{2} \right)\ は\\
& 直線\ \ell\ 上にあるから\\
& \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : 3 x - 2 y - 6 = 0\ に代入して\\
& \quad\begin{align*}
3 \cdot \dfrac{p - 1}{2} -2 \cdot \dfrac{q + 2}{2} -6 &= 0\\
\color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\
3 (p - 1) -2 (q + 2) -12 &= 0\\
3 p - 2 q - 19 &= 0\quad\cdots ②\\
\end{align*}
\\
\\
& ①，②を連立させた方程式を解くと\\
& \qquad\qquad p = 5,\ q = -2\\
& したがって，点\ {\rm B}\ の座標は\\
& \qquad\qquad \left(5,\ -2\right)\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf ①\ ゴールを設定！}\\
& 点\ {\rm B}\ の座標を\ (p,\ q)\ とする。\\
\\
& \colorbox{orange}{\color{white}\scriptsize\bf ②\ AB\ は\ 直線\ $\ell$\ と垂直だから}\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf 垂直 \Rightarrow 傾きの積が\ -1\\
& \quad\color{orange}\scriptsize\bf \textcolor{white}{垂直} \Rightarrow それぞれの傾きを求めよう！\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}x + y + 1 &= 0\\
y &= - x - 1\\
y &= \colorbox{bisque}{$-1$} x - 1\\
\end{align*}\\
& 直線\ \ell\ の傾きは\ \colorbox{bisque}{$-1$}，\ \\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{y\ を右−左}{x\ を右−左} = \dfrac{q - 2}{p - 3}\ より\end{align*}\\
& 直線\ {\rm AB}\ の傾きは\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p - 3}$}である。\\
& {\rm AB}\perp\ell\ であるから\quad\color{orange}\scriptsize\bf 傾きの積が\ -1\\
& \quad\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$-1$} \cdot \colorbox{palegreen}{$\dfrac{q - 2}{p - 3}$} &= -1\\
\color{orange}\scriptsize 両辺に\ p - 3\ をかけて\\
-1 \left( q - 2 \right) &= - p + 3\\
p - q - 1 &= 0\quad\cdots ①\\
\end{align*}\\
\\
& \colorbox{green}{\color{white}\scriptsize\bf ③\ AB\ の中点が\ $\ell$\ 上にあるから}\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf 中点 \Rightarrow 足して２で割る\\
& \quad\color{green}\scriptsize\bf \ell\ 上にある \Rightarrow 中点を\ \ell\ に代入\\
&\color{lightgray}\scriptsize\qquad\begin{align*}\dfrac{足して}{2} \Rightarrow \left( \dfrac{p + 3}{2},\ \dfrac{q + 2}{2}\right)\ より\end{align*}\\
& 線分\ {\rm AB}\ の中点\ \left( \dfrac{p + 3}{2},\ \dfrac{q + 2}{2} \right)\ は\\
& 直線\ \ell\ 上にあるから\\
& \color{green}\scriptsize 中点を\ \ell : x + y + 1 = 0\ に代入して\\
& \quad\begin{align*}
1 \cdot \dfrac{p + 3}{2} +1 \cdot \dfrac{q + 2}{2} +1 &= 0\\
\color{green}\scriptsize 両辺に\ 2\ を\ かけて\qquad\qquad\\
1 (p + 3) +1 (q + 2) +2 &= 0\\
p + q + 7 &= 0\quad\cdots ②\\
\end{align*}
\\
\\
& ①，②を連立させた方程式を解くと\\
& \qquad\qquad p = -3,\ q = -4\\
& したがって，点\ {\rm B}\ の座標は\\
& \qquad\qquad \left(-3,\ -4\right)\end{align*}
