気になるところをタップして確認しましょう。
何度も解いて体で覚えましょう！
a，bは実数とする。３次方程式 x^3+ax+b=0 が 1+2i を解にもつとき，定数 a，b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(左＋右)^3 = 左^3+3 \cdot 左^2 \cdot 右 +3 \cdot 左 \cdot 右^2+右^3
\begin{align*}
&(1+2i)^3\\
&= 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (2i)^1 + 3 \cdot 1^1 \cdot (2i)^2 + (2i)^3\\
&= 1+6i+12i^2+8i^3\\
&= 1+6i+12\cdot(-1)+8 i \cdot i^2\\
&= 1+6i-12+8i \cdot (-1)\\
&= -11-2i
\end{align*}（答）-11-2i
a+b\,i = 0 \Longleftrightarrow a=0,\ b=0
iがついていない数どうし，iがついている係数どうしが等しい
a，b が実数であるから，a+b-11，2a-2 は実数である。よって\begin{align*}
a+b-11 &= 0 \cdots ①\\
2a-2 &= 0 \cdots ②
\end{align*}②より
\begin{align*}
2a-2 &= 0\\
2a &= 2\\
a &= 1
\end{align*}これを①に代入して
\begin{align*}
1+b-11 &= 0\\
b &= -1+11\\
b &= 10
\end{align*}（答）a=1，b=10
P(x) とおく
P(x)=x^3+x+10 とすると
P(\pm 約数)=0 となる数を探す
10 の約数を代入して 0 になるものを探していきます。
P(1)=1^3+1+10=1+1+10=12
P(-1)=(-1)^3+ (-1)+10=-1-1+10=8
P(2)=2^3+ 2+10=8+2+10=18
P(\colorbox{mistyrose}{$-2$}) = (-2)^3+ (-2) +10 =\colorbox{yellow}{$0$}よって，P(x) は x\colorbox{mistyrose}{$+2$} を因数にもち
P(x) を因数で割る
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & 10 &\colorbox{mistyrose}{$-2$}\\
& -2 & 4 & -10 & \\\hline
1 & -2 & 5 & \colorbox{yellow}{$0$}
\end{array}上の割り算の結果から
P(x)=(x\colorbox{mistyrose}{$+2$})(x^2-2x+5)x+2=0 または x^2-2x+5=0
分けた方程式をそれぞれ解く
{\rm (i)}\ x+2=0 を解いて，x=-2{\rm (ii)}\ x^2-2x+5=0 を解いて
\begin{align*}
x &= \textcolor{orange}{\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \cdot 5}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm \sqrt{16}\,i}{2}\\
&= \dfrac{2\pm 4\,i}{2}\\
&= \dfrac{2(1\pm 2\,i)}{2} = 1 \pm 2\,i\\
\end{align*}（答）x=-2,\ 1\pm 2\,i
準備ができたら本番です。
\begin{align*}
(1+2i)^3+a(1+2i)+b &= 0\\
(-11-2i)+a+2ai+b &=0\\
a+b-11+2ai-2i &= 0\\
(a+b-11)+(2a-2)i &= 0
\end{align*}\begin{align*}
a+b-11 &= 0 \cdots ①\\
2a-2 &= 0 \cdots ②
\end{align*}②より a=1
これを①に代入して b=10
このとき，方程式は x^3+x+10=0 となる。
左辺を因数分解すると (x+2)(x^2-2x+5)=0
したがって x=-2,\ 1\pm 2\,i
（答）a=1，b=10，他の解は -2,\ 1-2\, i
a，bは実数とする。３次方程式 x^3+x^2+ax+b=0 が 1+i を解にもつとき，定数 a，b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(左＋右)^3 = 左^3+3 \cdot 左^2 \cdot 右 +3 \cdot 左 \cdot 右^2+右^3
\begin{align*}
&(1+i)^3\\
&= 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i^1 + 3 \cdot 1^1 \cdot i^2 + i^3\\
&= 1+3i+3i^2+i^3\\
&= 1+3i+3\cdot(-1)+i \cdot i^2\\
&= 1+3i-3+i \cdot (-1)\\
&= -2+2i
\end{align*}（答）-2+2i
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
(左＋右)^2 = 左^2+2 \cdot 左 \cdot 右 +右^2
\begin{align*}
&(1+i)^2\\
&= 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2\\
&= 1+2i+(-1)\\
&= 2i
\end{align*}（答）2i
a+bi = 0 \Longleftrightarrow a=0,\ b=0
iがついていない数どうし，iがついている係数どうしが等しい
a，b が実数であるから，a+b-2，a+4 は実数である。よって\begin{align*}
a+b-2 &= 0 \cdots ①\\
a+4 &= 0 \cdots ②
\end{align*}②より
\begin{align*}
a+4 &= 0\\
a &= -4
\end{align*}これを①に代入して
\begin{align*}
-4+b-2 &= 0\\
b &= 4+2\\
b &= 6
\end{align*}（答）a=-4，b=6
P(x) とおく
P(x)=x^3+x^2-4x+6 とすると
P(\pm 約数)=0 となる数を探す
6 の約数を代入して 0 になるものを探していきます。
P(1)=1^3+1^2-4 \cdot 1+6=1+1-4+6=4
P(-1)=(-1)^3+ (-1)^2-4 \cdot (-1)+6=-1+1+4+6=10
P(2)=2^3+ 2^2-4 \cdot 2+6=8+4-8+6=10
P(-2)=(-2)^3+ (-2)^2-4 \cdot (-2)+6=-8+4+8+6=10
P(3)=3^3+ 3^2-4 \cdot 3+6=27+9-12+6=30
P(\colorbox{mistyrose}{$-3$}) = (-3)^3+(-3)^2-4 \cdot (-3) +6 =\colorbox{yellow}{$0$}よって，P(x) は x\colorbox{mistyrose}{$+3$} を因数にもち
P(x) を因数で割る
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -4 & 6 &\colorbox{mistyrose}{$-3$}\\
& -3 & 6 & -6 & \\\hline
1 & -2 & 2 & \colorbox{yellow}{$0$}
\end{array}上の割り算の結果から
P(x)=(x\colorbox{mistyrose}{$+3$})(x^2-2x+2)x+3=0 または x^2-2x+2=0
分けた方程式をそれぞれ解く
{\rm (i)}\ x+3=0 を解いて，x=-3{\rm (ii)}\ x^2-2x+2=0 を解いて
\begin{align*}
x &= \textcolor{orange}{\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \cdot 2}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\\
&= \dfrac{2\pm \sqrt{4}\,i}{2}\\
&= \dfrac{2\pm 2\,i}{2}\\
&= \dfrac{2(1\pm \,i)}{2} = 1 \pm \,i\\
\end{align*}（答）x=-3,\ 1\pm \,i
準備ができたら本番です。
\begin{align*}
(1+i)^3+(1+i)^2+a(1+i)+b &= 0\\
(-2+2i)+(2i)+a+ai+b &=0\\
a+b-2+ai+4i &= 0\\
(a+b-2)+(a+4)i &= 0
\end{align*}\begin{align*}
a+b-2 &= 0 \cdots ①\\
a+4 &= 0 \cdots ②
\end{align*}②より a=-4
これを①に代入して b=6
このとき，方程式は x^3+x^2-4x+6=0 となる。
左辺を因数分解すると (x+3)(x^2-2x+2)=0
したがって x=-3,\ 1\pm\,i
（答）a=1，b=10，他の解は -3,\ 1-i
- 20210617…初版公開。問題数2（復習用小問7）。
