高次方程式は双子の複素数を解にもつ

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\normalsize\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 1+2\,i\ が解であるから　\colMM{red}{\bf 代入！}\\
& \begin{align*}
(1+2\,i)^3+a(1+2\,i)+b &= 0\\
(1+6\,i+12\,i^2+8\,i^3) +a+2a\,i+b &= 0\\
1+6\,i-12-8\,i+a+2a\,i+b&= 0\\
(1-12+a+b)+(6-8+2a)\,i &= 0\\
(\colBX{bisque}{$a+b-11$})+(\colBX{palegreen}{$2a-2$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$} \colMM{green}{+\colBX{palegreen}{$0$}i}
\end{align*}\\
\\
& a,\ b\ は実数であるから\\
& 　a+b-11,\ 2a-2\ は実数である。\\
\\
& よって\\
& 　　\begin{align*}
& \colBX{bisque}{$a+b-11 = 0$}\ \cdots\ ①\\
& \colBX{palegreen}{$2a-2=0$}\ \cdots\ ②
\end{align*}\\
\\
& ②より\\
& 　　\begin{align*}
2a-2 &= 0\\
2a &= 2\\
a &= 1
\end{align*}\\
\\
& これを①に代入して\\
& 　　\begin{align*}
1+b-11 &= 0\\
b &= -1+11\\
&= 10
\end{align*}\\
& \colMM{red}{a,\ b\ が決まったから問題の方程式に代入！}\\
& このとき，方程式は\ x^3+x+10=0　\colNS{red}{\bf ✔}\\
& 左辺を因数分解すると\\
& 　　(x+2)(x^2-2x+5)=0\\
& したがって　x=-2,\ 1\pm2\,i\\
\\
&\colFB{red}{答}　a=1,\ b=10,\ 他の解は\ -2,\ 1-2\,i
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\normalsize\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 1+i\ が解であるから　\colMM{red}{\bf 代入！}\\
& \begin{align*}
(1+i)^3+(1+i)^2+a(1+i)+b &= 0\\
(1+3\,i+3\,i^2+i^3)+(1+2\,i+i^2) +a+a\,i+b &= 0\\
1+3\,i-3-i+1+2\,i-1+a+a\,i+b &= 0\\
(1-3+1-1+a+b)+(3-1+2+a)\,i &= 0\\
(\colBX{bisque}{$a+b-2$})+(\colBX{palegreen}{$a+4$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$} \colMM{green}{+\colBX{palegreen}{$0$}i}
\end{align*}\\
\\
& a,\ b\ は実数であるから\\
& 　a+b-2,\ a+4\ は実数である。\\
\\
& よって\\
& 　　\begin{align*}
& \colBX{bisque}{$a+b-2 = 0$}\ \cdots\ ①\\
& \colBX{palegreen}{$a+4=0$}\ \cdots\ ②
\end{align*}\\
\\
& ②より\\
& 　　\begin{align*}
a+4 &= 0\\
a &= -4
\end{align*}\\
\\
& これを①に代入して\\
& 　　\begin{align*}
-4+b-2 &= 0\\
b &= 4+2\\
&= 6
\end{align*}\\
& \colMM{red}{a,\ b\ が決まったから問題の方程式に代入！}\\
& このとき，方程式は\ x^3+x^2-4x+6=0　\colNS{red}{\bf ✔}\\
& 左辺を因数分解すると\\
& 　　(x+3)(x^2-2x+2)=0\\
& したがって　x=-3,\ 1\pm\,i\\
\\
&\colFB{red}{答}　a=-4,\ b=6,\ 他の解は\ -3,\ 1-\,i
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\normalsize\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 2+i\ が解であるから　\colMM{red}{\bf 代入！}\\
& \begin{align*}
(2+i)^3-3(2+i)^2+a(2+i)+b &= 0\\
(8+12\,i+6\,i^2+i^3)-3(4+4\,i+i^2) +2a+a\,i+b &= 0\\
8+12\,i-6-i-12-12\,i-3\,i^2+2a+a\,i+b &= 0\\
8+12\,i-6-i-12-12\,i+3+2a+a\,i+b &= 0\\
(8-6-12+3+2a+b)+(12-1-12+a)\,i &= 0\\
(\colBX{bisque}{$2a+b-7$})+(\colBX{palegreen}{$a-1$})\,i &= \colBX{bisque}{$0$} \colMM{green}{+\colBX{palegreen}{$0$}i}
\end{align*}\\
\\
& a,\ b\ は実数であるから\\
& 　2a+b-7,\ a-1\ は実数である。\\
\\
& よって\\
& 　　\begin{align*}
& \colBX{bisque}{$2a+b-7 = 0$}\ \cdots\ ①\\
& \colBX{palegreen}{$a-1=0$}\ \cdots\ ②
\end{align*}\\
\\
& ②より\\
& 　　\begin{align*}
a-1 &= 0\\
a &= 1
\end{align*}\\
\\
& これを①に代入して\\
& 　　\begin{align*}
2+b-7 &= 0\\
b &= 7-2\\
&= 5
\end{align*}\\
& \colMM{red}{a,\ b\ が決まったから問題の方程式に代入！}\\
& このとき，方程式は\ x^3-3x^2+x+5=0　\colNS{red}{\bf ✔}\\
& 左辺を因数分解すると\\
& 　　(x+1)(x^2-4x+5)=0\\
& したがって　x=-1,\ 2\pm\,i\\
\\
&\colFB{red}{答}　a=1,\ b=5,\ 他の解は\ -1,\ 2-\,i
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan