剰余の定理の応用

2021年6月10日

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剰余の定理を使います。必要なら復習しておきましょう。

【数学２】剰余の定理

$x$ の整式を $P(x)$ ， $Q(x)$ のように，式の名前と変数の組合せで表すことにします。名前は整式Polynomialの頭文字Pから， $P, Q, R$ を使うことが多いです。
整式 $P(x)$ の $x$ に数 $k$ を代入したときの値を $P(k)$ と書きます。代入するという説明が長いため記号で書きます。とても便利です。例えば
- $P(x)$ の $x$ に数 $1$ を代入したときの値 ⇒ $P(1)$
- $P(x)$ の $x$ に数 $-2$ を代入したときの値 ⇒ $P(-2)$
- $P(x)$ の $x$ に数 $a$ を代入したときの値 ⇒ $P(a)$

整式 $P(x)$ を $x$ の１次式 $x-k$ で割った商が $Q(x)$ ，余りが $R$ であるとき，以下の等式が成り立ちます。これは大切な関係式です。

P(x) = (x-k)Q(x)+R

ここで，両辺の $x$ に $k$ を代入すると

P( \colorbox{mistyrose}{$k$} ) = (\colorbox{mistyrose}{$k$}-k)Q(\colorbox{mistyrose}{$k$})+R=R

剰余の定理

整式 $P(x)$ を１次式 $x\colorbox{mistyrose}{$-k$}$ で割った余りは $P(\colorbox{mistyrose}{$k$})$

※ $-k$ と $k$ は符号が異なることを意味します。

何度も解いて体で覚えましょう！

[問題文]次の各問いに答えよ。[/問題文]

整式

P(x)=x^3+ax^2+3x-2a

を

x-2

で割った余りが

12

であるとき，定数

a

の値を求めよ。

$P(x)$ を $x\colorbox{mistyrose}{$-2$}$ で割った余り ⇒ $P(\colorbox{mistyrose}{$2$})$

剰余の定理により

\begin{align*} P(2) &= 12\\ 2^3+a \cdot 2^2 +3 \cdot 2 -2a &= 12\\ 8+4a+6-2a &= 12\\ 2a &= -2\\ a &= -1 \end{align*}

整式

P(x)=2x^3+5ax^2+ax+1

を

x+1

で割った余りが

-5

であるとき，定数

a

の値を求めよ。

$P(x)$ を $x\colorbox{mistyrose}{$+1$}$ で割った余り ⇒ $P(\colorbox{mistyrose}{$-1$})$

剰余の定理により　 $P(-1)=-5$

\begin{align*} 2 \cdot (-1)^3+5a \cdot (-1)^2 +a \cdot (-1) +1 &= -5\\ -2+5a-a+1 &= -5\\ 4a &= -4\\ a &= -1 \end{align*}

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