気になるところをタップして確認しましょう。
- x の整式を P(x),Q(x) のように,式の名前と変数の組合せで表すことにします。名前は整式Polynomialの頭文字Pから,P, Q, R を使うことが多いです。
- 整式 P(x) の x に数 k を代入したときの値を P(k) と書きます。代入するという説明が長いため記号で書きます。とても便利です。例えば
- P(x) の x に数 1 を代入したときの値 ⇒ P(1)
- P(x) の x に数 -2 を代入したときの値 ⇒ P(-2)
- P(x) の x に数 a を代入したときの値 ⇒ P(a)
- 整式 P(x) を x の1次式 x-k で割った商が Q(x),余りが R であるとき,以下の等式が成り立ちます。これは大切な関係式です。
P(x) = (x-k)Q(x)+R
ここで,両辺の x に k を代入すると
P( \colorbox{mistyrose}{$k$} ) = (\colorbox{mistyrose}{$k$}-k)Q(\colorbox{mistyrose}{$k$})+R=R
※ -k と k は符号が異なることを意味します。
何度も解いて体で覚えましょう!
次の各問いに答えよ。
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3-2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3\\ &= 1-2+3\\ &= 2 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2+(\colorbox{mistyrose}{$\valA$})+5\\ &= -8+8-2+5\\ &= 3 \end{align*}
P(x)=x^3+x^2-3x-2 を次の1次式で割った余りを求めよ。
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+\colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-2\\ &= 1+1-3-2\\ &= -3 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+\colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-2\\ &= 8+4-6-2\\ &= 4 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+1$} で割った余りは\def\valA{-1} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}-2\\ &= -1+1+3-2\\ &= 1 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}-2\\ &= -8+4+6-2\\ &= 0\\ & \color{red}\scriptsize\bf \ \ \Uarr 余りが0=割り切れた! \end{align*}
次の各問いに答えよ。
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3+x^2-4x-5 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-4(\colorbox{mistyrose}{$\valA$})-5\\ &= -8+4+8-5\\ &= -1 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-3x^2+2x-1 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-1\\ &= 8-12+4-1\\ &= -1 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3+2x^2+3x+4 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}+4\\ &= 1+2+3+4\\ &= 10 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-2x^2-5x+3 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3-2 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-5 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}+3\\ &= -8-8+10+3\\ &= -3 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-x^2-9x+5 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+3$} で割った余りは\def\valA{-3} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3- \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-9 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}+5\\ &= -27-9+27+5\\ &= -4 \end{align*}
【解答】1次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=2x^3-x^2+3x-6 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\ P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= 2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3- \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-6\\ &= 16-4+6-6\\ &= 12 \end{align*}
- 20210610…初版公開。問題数6。
- 20211225…第2版。問題数12。問題を追加したついでに、解答スタイルを変更してみました。次はポイント部分も修正したい。