気になるところをタップして確認しましょう。
- x の整式を P(x)，Q(x) のように，式の名前と変数の組合せで表すことにします。名前は整式Polynomialの頭文字Pから，P, Q, R を使うことが多いです。
- 整式 P(x) の x に数 k を代入したときの値を P(k) と書きます。代入するという説明が長いため記号で書きます。とても便利です。例えば
- P(x) の x に数 1 を代入したときの値 ⇒ P(1)
- P(x) の x に数 -2 を代入したときの値 ⇒ P(-2)
- P(x) の x に数 a を代入したときの値 ⇒ P(a)
- 整式 P(x) を x の１次式 x-k で割った商が Q(x)，余りが R であるとき，以下の等式が成り立ちます。これは大切な関係式です。
P(x) = (x-k)Q(x)+R
ここで，両辺の x に k を代入すると
P( \colorbox{mistyrose}{$k$} ) = (\colorbox{mistyrose}{$k$}-k)Q(\colorbox{mistyrose}{$k$})+R=R剰余の定理
整式 P(x) を１次式 x\colorbox{mistyrose}{$-k$} で割った余りは P(\colorbox{mistyrose}{$k$})
※ -k と k は符号が異なることを意味します。
何度も解いて体で覚えましょう！
次の各問いに答えよ。
【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3-2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3\\
&= 1-2+3\\
&= 2
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2+(\colorbox{mistyrose}{$\valA$})+5\\
&= -8+8-2+5\\
&= 3
\end{align*}P(x)=x^3+x^2-3x-2 を次の１次式で割った余りを求めよ。
【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+\colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-2\\
&= 1+1-3-2\\
&= -3
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+\colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-2\\
&= 8+4-6-2\\
&= 4
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+1$} で割った余りは\def\valA{-1}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}-2\\
&= -1+1+3-2\\
&= 1
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}-2\\
&= -8+4+6-2\\
&= 0\\
& \color{red}\scriptsize\bf \ \ \Uarr 余りが０＝割り切れた！
\end{align*}次の各問いに答えよ。
【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3+x^2-4x-5 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3+\colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-4(\colorbox{mistyrose}{$\valA$})-5\\
&= -8+4+8-5\\
&= -1
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-3x^2+2x-1 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3-3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-1\\
&= 8-12+4-1\\
&= -1
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3+2x^2+3x+4 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-1$} で割った余りは\def\valA{1}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}+4\\
&= 1+2+3+4\\
&= 10
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-2x^2-5x+3 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+2$} で割った余りは\def\valA{-2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3-2 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-5 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}+3\\
&= -8-8+10+3\\
&= -3
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=x^3-x^2-9x+5 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$+3$} で割った余りは\def\valA{-3}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^3- \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}^2-9 \colorbox{mistyrose}{$(\valA)$}+5\\
&= -27-9+27+5\\
&= -4
\end{align*}【解答】１次式で割った余り \Rightarrow 剰余の定理
P(x)=2x^3-x^2+3x-6 とする。 P(x) を x\colorbox{mistyrose}{$-2$} で割った余りは\def\valA{2}
\begin{align*}
\color{orange}\scriptsize\bf 符号変える \Darr \\
P(\colorbox{mistyrose}{$\valA$}) &= 2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^3- \colorbox{mistyrose}{$\valA$}^2+3 \cdot \colorbox{mistyrose}{$\valA$}-6\\
&= 16-4+6-6\\
&= 12
\end{align*}- 20210610…初版公開。問題数６。
- 20211225…第２版。問題数１２。問題を追加したついでに、解答スタイルを変更してみました。次はポイント部分も修正したい。
