私の授業で使いながら問題を増やしているため、完成するまでに時間がかかりそうです。少しずつ問題を増やしたり、ポイント解説を付けたりしていきます。無限の彼方で完成する日を、どうぞご期待ください。
Happy Math-ing!
未完成でもよければ、使ってやってください。😃
２次式 ax^2+bx+c を複素数の範囲で因数分解するには
- ax^2+bx+c \colorbox{yellow}{$=0$} を解く ⇒ \colorbox{lightcyan}{$\alpha$}, \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
- \colorbox{mistyrose}{$a$}x^2+bx+c = \colorbox{mistyrose}{$a$}(x-\colorbox{lightcyan}{$\alpha$})(x-\colorbox{lightcyan}{$\beta$})
次の２次式を，複素数の範囲で因数分解しよう。
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２次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
２次方程式 2x^2-2x-1\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*}
x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2}}\\\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times (-2)}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3})}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\\
\end{align*}ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*}
& \colorbox{mistyrose}{$2$}x^2-2x-1 \\
& \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに！}\\
= & \colorbox{mistyrose}{$2$}\left(x-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く！}}
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２次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
２次方程式 x^2-2x+4\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*}
x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1}}\\\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times 4}}{2}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}\,i}{2}\\\\
&= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3}\,i)}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\,i
\end{align*}ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*}
& \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2-2x+4 \\
& \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに！}\\
= & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left\{x-(1+\sqrt{3}\,i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt{3}\,i)\right\}\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く！}}\\
= & (x-1-\sqrt{3}\,i)(x-1+\sqrt{3}\,i)
\end{align*}２次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
２次方程式 x^2-3x-2\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*}
x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1}}\\\\
&= \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \times (-2)}}{2}\\\\
&= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2}\\\\
&= \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}
\end{align*}ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*}
& \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2-3x-2 \\
& \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに！}\\
= & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く！}}\\
= & \left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\
\end{align*}（答）\left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)
２次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
２次方程式 2x^2-2x-3\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*}
x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2}}\\\\
&= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times (-6)}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{4+24}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4}\\\\
&= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{7})}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2}
\end{align*}ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*}
& \colorbox{mistyrose}{$2$}x^2-2x-3 \\
& \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに！}\\
= & \colorbox{mistyrose}{$2$}\left(x-\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く！}}
\end{align*}（答）2\left(x-\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)
２次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
２次方程式 x^2+4x+6\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*}
x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}}\\\\
&= \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \times 6}}{2}\\\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-24}}{2}\\\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}\\\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{8}\,i}{2}\\\\
&= \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{2}\,i}{2} = \dfrac{2(-2 \pm \sqrt{2}\,i)}{2} = -2 \pm \sqrt{2}\,i
\end{align*}ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*}
& \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2+4x+6 \\
& \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに！}\\
= & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left\{x-(-2+\sqrt{2}\,i)\right\}\left\{x-(-2-\sqrt{2}\,i)\right\}\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く！}}\\
= & (x+2-\sqrt{2}\,i)(x+2+\sqrt{2}\,i)
\end{align*}（答）(x+2-\sqrt{2}\,i)(x+2+\sqrt{2}\,i)
