次の2次式を,複素数の範囲で因数分解しよう。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
2次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
2次方程式 2x^2-2x-1\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*} x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2}}\\\\ &= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times (-2)}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3})}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\\ \end{align*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*} & \colorbox{mistyrose}{$2$}x^2-2x-1 \\ & \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに!}\\ = & \colorbox{mistyrose}{$2$}\left(x-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く!}} \end{align*}
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
2次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
2次方程式 x^2-2x+4\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*} x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1}}\\\\ &= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times 4}}{2}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}\,i}{2}\\\\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3}\,i)}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\,i \end{align*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*} & \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2-2x+4 \\ & \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに!}\\ = & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left\{x-(1+\sqrt{3}\,i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt{3}\,i)\right\}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く!}}\\ = & (x-1-\sqrt{3}\,i)(x-1+\sqrt{3}\,i) \end{align*}
2次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
2次方程式 x^2-3x-2\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*} x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1}}\\\\ &= \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \times (-2)}}{2}\\\\ &= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2}\\\\ &= \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \end{align*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*} & \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2-3x-2 \\ & \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに!}\\ = & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く!}}\\ = & \left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\ \end{align*}
(答)\left(x-\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\right)
2次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
2次方程式 2x^2-2x-3\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*} x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2}}\\\\ &= \dfrac{2\pm\sqrt{4-4 \times (-6)}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4+24}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4}\\\\ &= \dfrac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{7})}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \end{align*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*} & \colorbox{mistyrose}{$2$}x^2-2x-3 \\ & \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに!}\\ = & \colorbox{mistyrose}{$2$}\left(x-\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く!}} \end{align*}
(答)2\left(x-\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)
2次式=0 を解く ⇒ \alpha,\ \beta
2次方程式 x^2+4x+6\colorbox{yellow}{$=0$} の解は
\begin{align*} x &\textcolor{orange}{= \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}}\\\\ &= \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \times 6}}{2}\\\\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-24}}{2}\\\\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}\\\\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{8}\,i}{2}\\\\ &= \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{2}\,i}{2} = \dfrac{2(-2 \pm \sqrt{2}\,i)}{2} = -2 \pm \sqrt{2}\,i \end{align*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
よって
\begin{align*} & \colorbox{mistyrose}{$1$}x^2+4x+6 \\ & \textcolor{orange}{\footnotesize ↓↓ 忘れずに!}\\ = & \colorbox{mistyrose}{$1$}\left\{x-(-2+\sqrt{2}\,i)\right\}\left\{x-(-2-\sqrt{2}\,i)\right\}\\ & \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 求めた解を引く!}}\\ = & (x+2-\sqrt{2}\,i)(x+2+\sqrt{2}\,i) \end{align*}
(答)(x+2-\sqrt{2}\,i)(x+2+\sqrt{2}\,i)