解と係数からの対称式

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  • ２次方程式 ax^2+bx+c=0の２つの解を \alpha,\ \beta とすれば，解と係数の関係より
\alpha + \beta = \dfrac{b}{a} \times (-1)，　\alpha\beta = \dfrac{c}{a}

となります。このとき，\alpha+\beta，\alpha\beta は対称式になっています。しかも一番ベースとなる 基本対称式 です。

  • この世界に存在するすべての対称式は 基本対称式 のみで表すことができます。これを利用して，\alpha，\beta の対称式を求めていきます。数学１で扱った対称式と考え方は同じです。
対称式を基本対称式のみで表す
  • 公式を利用する
    • \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
    • \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
    • \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)
  • 因数分解を利用する
  • 展開して求めた値を利用する
  • まず２乗してから考える。２乗をとるのを忘れずに。
    • \alpha-\beta
    • ２乗すると対称式になります！

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

２次方程式 x^2-4x+5=0 の２つの解を \alpha,\ \beta とするとき，次の式の値を求めよ。

【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-4}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\wa{4}
\def\seki{5}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭　　}\colMM{green}{\bf 真ん中　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答}　 & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和}　& \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積}　& \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{}\def\wa{4}\def\wrightk{}
\def\sleftk{\cdot}\def\seki{5}\def\srightk{}
\def\wz{16}
\def\ns{-10}
\def\kotae{6}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
\alpha^2 + \beta^2 & = (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^2-2\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^2-2 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk\\
\\
&= \wz\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{}\def\wa{4}\def\wrightk{}
\def\sleftk{\cdot}\def\seki{5}\def\srightk{}
\def\ws{64}
\def\ns{-60}
\def\kotae{4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
\alpha^3 + \beta^3 & = (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^3-3\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}(\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^3-3 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk \cdot\wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk\\
\\
&= \ws\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{}\def\wa{4}\def\wrightk{}
\def\sleftk{\cdot}\def\seki{5}\def\srightk{}
\def\wz{16}
\def\ns{-20}
\def\kotae{-4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
(\alpha - \beta)^2 &= \alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$\alpha^2+\beta^2$} -2\alpha\beta\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$} -2\alpha\beta\\
\\
&= (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^2-4\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^2-4 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk\\
\\
&= \wz\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

２乗してるのにマイナス？

\alpha - \beta が純虚数だから！

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

２次方程式 x^2+3x-1=0 の２つの解を \alpha,\ \beta とするとき，次の式の値を求めよ。

【解答】

\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-1}
\def\wa{-3}
\def\seki{-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭　　}\colMM{green}{\bf 真ん中　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答}　 & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和}　& \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積}　& \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{(}\def\wa{-3}\def\wrightk{)}
\def\sleftk{(}\def\seki{-1}\def\srightk{)}
\def\wz{9}
\def\ns{+2}
\def\kotae{11}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
\alpha^2 + \beta^2 & = (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^2-2\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^2-2 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk\\
\\
&= \wz\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{(}\def\wa{-3}\def\wrightk{)}
\def\sleftk{(}\def\seki{-1}\def\srightk{)}

\def\ws{-27}
\def\ns{-9}
\def\kotae{-36}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
\alpha^3 + \beta^3 & = (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^3-3\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}(\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^3-3 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk \cdot\wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk\\
\\
&= \ws\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\def\wleftk{(}\def\wa{-3}\def\wrightk{)}
\def\sleftk{(}\def\seki{-1}\def\srightk{)}
\def\wz{9}
\def\ns{+4}
\def\kotae{13}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
解と係数の関係 & から\\
\alpha + \beta = \colBX{bisque}{$\wa$},\ & \alpha\beta = \colBX{palegreen}{$\seki$}\\
\\
(\alpha - \beta)^2 &= \alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$\alpha^2+\beta^2$} -2\alpha\beta\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$} -2\alpha\beta\\
\\
&= (\colBX{bisque}{$\alpha+\beta$})^2-4\colBX{palegreen}{$\alpha\beta$}\\
\\
&= \wleftk\colBX{bisque}{$\wa$}\wrightk^2-4 \sleftk\colBX{palegreen}{$\seki$}\srightk\\
\\
&= \wz\ns = \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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