- 2次方程式 ax^2+bx+c=0 を解くと
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
となり,(複素数まで考えれば)必ず解は2つあります。重解も2つの解が重なって1つに見えるだけですし。
- この2つの解を \alpha,\beta として,和 \alpha+\beta と積 \alpha\beta を計算してみます。計算を楽にするために,b^2-4ac は判別式 D に置き換えて考えます。
\begin{align*} 和 \alpha + \beta &= \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\ &= \dfrac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\ &= \dfrac{-2b}{2a} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$b$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}} \colorbox{yellow}{$\times (-1)$}\\\\ \\ 積 \alpha \times \beta &= \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \times \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\ &= \dfrac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{4a^2}\\\\ &= \dfrac{b^2-D}{4a^2}\\\\ &= \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\\\ &= \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$c$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}} \end{align*}
- 上の計算から,2次方程式の2つの解の和と積は,方程式の係数だけで求めることができました。これを,2次方程式の 解と係数の関係 といいます。
- a,\ b,\ c で覚えるのもいいですが,公式の意味を考えて使いながら身につけましょう。例えば,2字方程式の係数を x^2 の係数から順に \colorbox{mistyrose}{先頭}\colorbox{lightcyan}{真ん中}\colorbox{lightgreen}{最後} と呼ぶことにすれば,
\begin{align*} 和 \alpha + \beta &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$真ん中$}}{\colorbox{mistyrose}{$先頭$}}\ \colorbox{yellow}{$\times (-1)$}\\\\ 積 \ \alpha \beta &= \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$最後$}}{\colorbox{mistyrose}{$先頭$}} \end{align*}
と表現することもできます。自分なりの公式利用法を考えましょう。
Happy Math-ing!
次の2次方程式について,2つの解の和と積を求めよう。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-6} \def\wa{-\dfrac{3}{2}} \def\seki{-3} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{2} \def\wa{-\dfrac{4}{3}} \def\seki{\dfrac{2}{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-6}\def\vcf{}\def\vc{-4} \def\wa{6} \def\seki{-4} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{2} \def\wa{-3} \def\seki{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{2}\def\vbf{}\def\vb{-5}\def\vcf{+}\def\vc{6} \def\wa{\dfrac{5}{2}} \def\seki{3} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{4}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-9} \def\wa{-\dfrac{3}{4}} \def\seki{-\dfrac{9}{4}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-4}\def\vcf{+}\def\vc{5} \def\wa{4} \def\seki{5} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-1} \def\wa{-3} \def\seki{-1} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
応用問題の途中計算
次の2次方程式について,2つの解の和と積を求めよう。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{m} \def\wa{-3} \def\seki{m} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{m} \def\wa{-5} \def\seki{m} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{2m}\def\vcf{+}\def\vc{m+2} \def\wa{-2m} \def\seki{m+2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{2(m-3)}\def\vcf{+}\def\vc{4m} \def\wa{-2(m-3)} \def\seki{4m} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ 2次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\ &2つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\ \\ \colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\ \\ \colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan