- ２次方程式 ax^2+bx+c=0 を解くと
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}となり，（複素数まで考えれば）必ず解は２つあります。重解も２つの解が重なって１つに見えるだけですし。
- この２つの解を \alpha，\beta として，和 \alpha+\beta と積 \alpha\beta を計算してみます。計算を楽にするために，b^2-4ac は判別式 D に置き換えて考えます。
\begin{align*}
和 \alpha + \beta &= \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\
&= \dfrac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\
&= \dfrac{-2b}{2a} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$b$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}} \colorbox{yellow}{$\times (-1)$}\\\\
\\
積 \alpha \times \beta &= \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \times \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\
&= \dfrac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{4a^2}\\\\
&= \dfrac{b^2-D}{4a^2}\\\\
&= \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\\\
&= \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$c$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}}
\end{align*}- 上の計算から，２次方程式の２つの解の和と積は，方程式の係数だけで求めることができました。これを，２次方程式の 解と係数の関係 といいます。
解と係数の関係
２次方程式 \colorbox{mistyrose}{$a$}x^2\colorbox{lightcyan}{$+b$}x\colorbox{lightgreen}{$+c$}=0 の２つの解を \alpha，\beta とすると
\begin{align*}
和 \alpha + \beta &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$b$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}}\ \colorbox{yellow}{$\times (-1)$}\\\\
積 \ \alpha \beta &= \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$c$}}{\colorbox{mistyrose}{$a$}}
\end{align*}- a,\ b,\ c で覚えるのもいいですが，公式の意味を考えて使いながら身につけましょう。例えば，２字方程式の係数を x^2 の係数から順に \colorbox{mistyrose}{先頭}\colorbox{lightcyan}{真ん中}\colorbox{lightgreen}{最後} と呼ぶことにすれば，
\begin{align*}
和 \alpha + \beta &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$真ん中$}}{\colorbox{mistyrose}{$先頭$}}\ \colorbox{yellow}{$\times (-1)$}\\\\
積 \ \alpha \beta &= \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$最後$}}{\colorbox{mistyrose}{$先頭$}}
\end{align*}と表現することもできます。自分なりの公式利用法を考えましょう。
Happy Math-ing!
次の２次方程式について，２つの解の和と積を求めよう。
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-6}
\def\wa{-\dfrac{3}{2}}
\def\seki{-3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{2}
\def\wa{-\dfrac{4}{3}}
\def\seki{\dfrac{2}{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-6}\def\vcf{}\def\vc{-4}
\def\wa{6}
\def\seki{-4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{2}
\def\wa{-3}
\def\seki{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{}\def\vb{-5}\def\vcf{+}\def\vc{6}
\def\wa{\dfrac{5}{2}}
\def\seki{3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{4}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-9}
\def\wa{-\dfrac{3}{4}}
\def\seki{-\dfrac{9}{4}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-4}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\wa{4}
\def\seki{5}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{}\def\vc{-1}
\def\wa{-3}
\def\seki{-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan応用問題の途中計算
次の２次方程式について，２つの解の和と積を求めよう。
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{m}
\def\wa{-3}
\def\seki{m}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{m}
\def\wa{-5}
\def\seki{m}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{2m}\def\vcf{+}\def\vc{m+2}
\def\wa{-2m}
\def\seki{m+2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{2(m-3)}\def\vcf{+}\def\vc{4m}
\def\wa{-2(m-3)}
\def\seki{4m}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{red}{Check!} & \\
& \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
& \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\
\\
\colFB{red}{解答} & \\
２次方 & 程式\ \va{x^2}\vbf\vb{x}\vcf\vc=0\ の\\
&２つの解を \alpha,\ \beta\ とすると\\
\\
\colFB{pink}{和} & \alpha + \beta =\dfrac{\colBX{palegreen}{$\vb$}}{\colBX{bisque}{\va}} \times (-1) = \wa\\
\\
\colFB{pink}{積} & \alpha\beta =\dfrac{\colBX{violet}{$\vc$}}{\colBX{bisque}{\va}} = \seki\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
