m は定数とする。
次の2次方程式の解の種類を判別しよう。
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{2}\def\vcf{+}\def\vc{m} \def\bz{4} \def\ac{m} \def\tenkai{4-4m} \def\tenkaib{1-m} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ この2 & 次方程式の判別式を D とすると\\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$} -4 \cdot \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ \\ &= \tenkai\\ \\ (i)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの実数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D > 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & > 0\\ \tenkaib & > 0\\ -m &> -1\\ m &< 1 \end{align*} \\ (ii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{重解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D = 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & = 0\\ \tenkaib & = 0\\ -m &= -1\\ m &= 1 \end{align*} \\ (iii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの虚数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D < 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & < 0\\ \tenkaib & < 0\\ -m &< -1\\ m &> 1 \end{align*} \end{align*} \\ \\ \\ \\ よって,2次方程式の解は次のようになる。 \\ \\ \begin{align*} m < 1 & \ のとき 異なる2つの実数解\\ m = 1 & \ のとき 重解\\ m > 1 & \ のとき 異なる2つの虚数解 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{m} \def\bz{16} \def\ac{m} \def\tenkai{16-4m} \def\tenkaib{4-m} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ この2 & 次方程式の判別式を D とすると\\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$} -4 \cdot \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ \\ &= \tenkai\\ \\ (i)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの実数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D > 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & > 0\\ \tenkaib & > 0\\ -m &> -4\\ m &< 4 \end{align*} \\ (ii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{重解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D = 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & = 0\\ \tenkaib & = 0\\ -m &= -4\\ m &= 4 \end{align*} \\ (iii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの虚数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D < 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & < 0\\ \tenkaib & < 0\\ -m &< -4\\ m &> 4 \end{align*} \end{align*} \\ \\ \\ \\ よって,2次方程式の解は次のようになる。 \\ \\ \begin{align*} m < 4 & \ のとき 異なる2つの実数解\\ m = 4 & \ のとき 重解\\ m > 4 & \ のとき 異なる2つの虚数解 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{m}\def\vcf{+}\def\vc{4} \def\bz{m^2} \def\ac{4} \def\tenkai{m^2-16} \def\tenkaib{(m+4)(m-4)} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colFB{red}{Check!} & \\ & \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ & \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} = 0\\ \\ \colFB{red}{解答} & \\ この2 & 次方程式の判別式を D とすると\\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$} -4 \cdot \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ \\ &= \tenkai\\ \\ (i)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの実数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D > 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & > 0\\ \tenkaib & > 0\\ m < -4, & \ 4 < m \end{align*} \\ (ii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{重解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D = 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & = 0\\ \tenkaib & = 0\\ m &= -4,\ 4 \end{align*} \\ (iii)2次 & 方程式が \colBX{mistyrose}{異なる2つの虚数解をもつ} のは\\ & \colBX{mistyrose}{$D < 0$}\ のときである。\\ & \begin{align*} \tenkai & < 0\\ \tenkaib & < 0\\ -4 < m &< 4 \end{align*} \end{align*} \\ \\ \\ \\ よって,2次方程式の解は次のようになる。 \\ \\ \begin{align*} m < -4,\ 4 < m & \ のとき 異なる2つの実数解\\ m = \pm 4 & \ のとき 重解\\ -4 < m < 4 & \ のとき 異なる2つの虚数解 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan